שטח משולש ומקבילית בעזרת סינוס

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 13 מתוך 20לימוד

שטח משולש ומקבילית בעזרת סינוס

שטח משולש בעזרת סינוס

הנוסחה נכונה גם כשהזווית קהה:

\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\gamma)}={\sin\gamma}

. למשל,

\displaystyle {\sin150^{\circ}}={\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}}

שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן (מכיתה י’).

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma

$\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ – שתי צלעות; $\displaystyle \gamma$ – הזווית שביניהן.
הסיבה: הגובה לצלע $\displaystyle a$ הוא $\displaystyle b\sin\gamma$ , והשטח הוא מחצית הצלע כפול הגובה.

שטח מקבילית בעזרת סינוס

משפט: שטח מקבילית שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן.

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle ab\sin\alpha

נתון: $\displaystyle ABCD$ מקבילית, $\displaystyle {AB}={a}$ , $\displaystyle {AD}={b}$ , $\displaystyle {\angle DAB}={\alpha}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {S_{ABCD}}={ab\sin\alpha}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסון $\displaystyle BD$ ונוכיח שהוא מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB}={CD}$	במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות
2	$\displaystyle {AD}={CB}$	במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות
3	$\displaystyle {BD}={BD}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle CDB$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.צ.צ

למשולשים חופפים שטחים שווים, ולכן שטח המקבילית הוא פעמיים שטח המשולש $\displaystyle ABD$ :

S_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}ab\sin\alpha=ab\sin\alpha

כל זווית של המקבילית מתאימה לנוסחה: הזווית הסמוכה היא $\displaystyle 180^{\circ}-\alpha$ , והסינוס שלה שווה.

דוגמאות: ערכים מדויקים

כשהזווית היא $\displaystyle 30^{\circ}$ , $\displaystyle 45^{\circ}$ , $\displaystyle 60^{\circ}$ (או $\displaystyle 120^{\circ}$ , $\displaystyle 135^{\circ}$ , $\displaystyle 150^{\circ}$ ), השטח יוצא מדויק: $\displaystyle {\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {\sin45^{\circ}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , $\displaystyle {\sin60^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

מקבילית שצלעותיה $\displaystyle 6$ ו- $\displaystyle 10$ , והזווית ביניהן $\displaystyle 30^{\circ}$ : $\displaystyle {S}={6\cdot10\cdot\frac{1}{2}}={30}$ .
מעוין שצלעו $\displaystyle 8$ , וזווית שלו $\displaystyle 120^{\circ}$ : $\displaystyle {S}={8\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}={32\sqrt{3}}$ .

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={8}$ , $\displaystyle {AC}={5}$ , $\displaystyle {\angle A}={150^{\circ}}$ .
חשבו את שטח המשולש.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הצלעות של מקבילית הן $\displaystyle 7$ ו- $\displaystyle 4$ , והזווית ביניהן $\displaystyle 45^{\circ}$ .
חשבו את שטח המקבילית. השאירו את התשובה עם שורש.

שטח של צורה מורכבת

שטח של מצולע אפשר לחשב בחיבור ובחיסור של משולשים. במצולע שחסום במעגל נוח לחבר את המרכז לקודקודים:

כל משולש שמתקבל הוא שווה שוקיים: שתי צלעות שלו רדיוסים, $\displaystyle R$ ו- $\displaystyle R$ .
השטח של כל אחד הוא $\displaystyle \frac{1}{2}R^{2}\sin\theta$ , כאשר $\displaystyle \theta$ הזווית המרכזית שלו.
כשהמרכז מחוץ למצולע, משולש אחד יוצא מחוץ לו – ואת השטח שלו מחסרים.

תרגיל 3

הטרפז $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל.
הנקודה $\displaystyle O(6,2)$ היא מרכז המעגל, והנקודה $\displaystyle A(-2,2)$ על המעגל.
$\displaystyle {\angle AOB}={\angle COD}={36.2^{\circ}}$ , $\displaystyle {\angle BOC}={71.2^{\circ}}$ .
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חשבו את רדיוס המעגל.

חשבו את שטח הטרפז, בחיבור ובחיסור של שטחי משולשים. (רמז: מהי הזווית

\displaystyle \angle AOD

, והאם

\displaystyle O

בתוך הטרפז?)

תרגיל 4

נתון המעגל $\displaystyle {(x+1)^{2}+(y-3)^{2}}={25}$ , שמרכזו $\displaystyle M$ .
הישר $\displaystyle {y}={7}$ חותך את המעגל בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ ; הנקודה $\displaystyle A$ מימין ל- $\displaystyle B$ .

\displaystyle (x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25

\displaystyle y=7

\displaystyle M=(-1,3)

מצאו את השיעורים של הנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .

חשבו את שטח המשולש

\displaystyle BMA

חשבו את

\displaystyle \angle BMA

, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. (רמז: השטח מהסעיף הקודם, ונוסחת השטח בעזרת סינוס.)

הישר $\displaystyle BM$ חותך את ציר ה- $\displaystyle x$ בנקודה $\displaystyle C$ . מצאו את משוואת הישר $\displaystyle BM$ ואת השיעורים של $\displaystyle C$ : כתבו את שתי המשוואות – של הישר ושל ציר ה- $\displaystyle x$ ( $\displaystyle {y}={0}$ ) – ופתרו.

חשבו את שטח המשולש

\displaystyle AMC

. (רמז: מהי

\displaystyle \angle AMC

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$