זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים

קשת נמדדת במעלות, בעזרת הזווית המרכזית הנשענת עליה: המידה של קשת שווה לזווית המרכזית שלה.

• בשרטוט $\displaystyle {\angle AOB}={70^{\circ}}$, ולכן הקשת הקטנה $\displaystyle AB$ היא $\displaystyle 70^{\circ}$.
• המיתר $\displaystyle AB$ מחלק את המעגל לשתי קשתות: הקשת הקטנה והקשת הגדולה.
• כל המעגל הוא $\displaystyle 360^{\circ}$, ולכן הקשת הגדולה $\displaystyle AB$ היא $\displaystyle {360^{\circ}-70^{\circ}}={290^{\circ}}$.

משפט: במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

“אם ורק אם” הוא שני משפטים: מזוויות שוות לומדים שהמיתרים שווים, וממיתרים שווים – שהזוויות שוות. כאן נוכיח את הכיוון הראשון.

נתון: $\displaystyle O$ מרכז המעגל, $\displaystyle {\angle AOB}={\angle COD}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={CD}$.

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle AOB$ ו-$\displaystyle COD$ חופפים: כל השוקיים שלהם רדיוסים, והזוויות שביניהן שוות.

• את הכיוון השני – ממיתרים שווים לזוויות מרכזיות שוות – תוכיחו בעצמכם, בתרגיל 3.
• במעגל, אם שתי קשתות שוות זו לזו, אז שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה. קשתות שוות הן קשתות שהזוויות המרכזיות שלהן שוות, ולכן זה נובע מהמשפט שהוכחנו.

משפט: אנך למיתר, העובר דרך מרכז המעגל, חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשת המתאימות למיתר.

נתון: $\displaystyle O$ מרכז המעגל, $\displaystyle OM\perp AB$, והנקודה $\displaystyle M$ על המיתר $\displaystyle AB$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle AOM}={\angle BOM}$.

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle OMA$ ו-$\displaystyle OMB$ חופפים. הזוויות המרכזיות $\displaystyle \angle AOM$ ו-$\displaystyle \angle BOM$ שוות, ולכן גם הקשתות שלהן שוות: ההמשך של $\displaystyle OM$ פוגש את הקשת $\displaystyle AB$ באמצע שלה.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle {\angle AOB}={110^{\circ}}$.

הנקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ מחלקות את המעגל לשלוש קשתות.
המידות של הקשתות $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ הן ביחס $\displaystyle 2:3:4$.
$\displaystyle O$ מרכז המעגל.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, והמיתרים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ שווים.
הוכיחו: $\displaystyle {\angle AOB}={\angle COD}$.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, והמיתרים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ שווים.
$\displaystyle OM\perp AB$ ו-$\displaystyle ON\perp CD$; הנקודה $\displaystyle M$ על $\displaystyle AB$, והנקודה $\displaystyle N$ על $\displaystyle CD$.
הוכיחו: $\displaystyle {OM}={ON}$ – מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.

במעגל שהרדיוס שלו $\displaystyle 5$ ס"מ יש מיתר $\displaystyle AB$ שאורכו $\displaystyle 8$ ס"מ.
$\displaystyle O$ מרכז המעגל, $\displaystyle OM\perp AB$, והנקודה $\displaystyle M$ על $\displaystyle AB$.