מיתרים ומרכז המעגל

משפט: אנך למיתר, העובר דרך מרכז המעגל, חוצה את המיתר.

נתון: $\displaystyle O$ מרכז המעגל, $\displaystyle AB$ מיתר, $\displaystyle OM\perp AB$ ($\displaystyle M$ על $\displaystyle AB$).
צריך להוכיח: $\displaystyle {AM}={BM}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר את הרדיוסים $\displaystyle OA$ ו-$\displaystyle OB$, ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle OMA$ ו-$\displaystyle OMB$ חופפים:

המשפט הראשון מדבר על ישר אחד עם שתי תכונות מתוך שלוש: הוא עובר דרך המרכז, הוא מאונך למיתר, הוא חוצה את המיתר. כל שתיים מהן גוררות את השלישית:

• משפט: ישר העובר דרך מרכז המעגל וחוצה את המיתר מאונך למיתר. את ההוכחה תכתבו בעצמכם, בתרגיל 1.
• משפט: ישר המאונך למיתר וחוצה את המיתר עובר דרך מרכז המעגל. הסיבה: $\displaystyle {OA}={OB}$, ולכן $\displaystyle O$ על האנך האמצעי של $\displaystyle AB$ – המקום הגאומטרי של הנקודות שנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע.

מהמשפט האחרון: מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר. כך מוצאים מרכז של מעגל – בנקודה שבה נפגשים האנכים האמצעיים של שני מיתרים.

המרחק של מיתר ממרכז המעגל הוא אורך האנך מהמרכז למיתר, $\displaystyle {d}={OM}$. האנך חוצה את המיתר, ולכן במשולש ישר הזווית $\displaystyle OMA$ הניצבים הם $\displaystyle d$ ו-$\displaystyle \frac{AB}{2}$, והיתר הוא הרדיוס.

לפי משפט פיתגורס:

דוגמה: רדיוס המעגל $\displaystyle 10$, ואורך המיתר $\displaystyle 16$. מה המרחק של המיתר מהמרכז?

במערכת צירים בודקים שהקטע מהמרכז לאמצע המיתר מאונך למיתר: מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $\displaystyle -1$.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$, והמרכז שלו $\displaystyle K(2,5)$.
$\displaystyle AC$ מיתר: $\displaystyle A(6,2)$ ו-$\displaystyle C(5,9)$.

• אמצע המיתר: $\displaystyle {M\left(\frac{6+5}{2},\frac{2+9}{2}\right)}={(5.5,\ 5.5)}$.
• שיפוע המיתר: $\displaystyle {m_{AC}}={\frac{9-2}{5-6}}={-7}$.
• שיפוע $\displaystyle KM$: $\displaystyle {m_{KM}}={\frac{5.5-5}{5.5-2}}={\frac{0.5}{3.5}}={\frac{1}{7}}$.
• $\displaystyle {-7\cdot\frac{1}{7}}={-1}$, ולכן $\displaystyle KM\perp AC$ – כפי שהמשפט אומר.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle M$ אמצע המיתר $\displaystyle AB$.
הוכיחו: $\displaystyle OM\perp AB$.

רדיוס המעגל $\displaystyle 13$, ואורך המיתר $\displaystyle 24$.
מה המרחק של המיתר ממרכז המעגל?

רדיוס המעגל $\displaystyle 6$, והמרחק של המיתר $\displaystyle AB$ ממרכז המעגל $\displaystyle 4$.
מה אורך המיתר? השאירו את התשובה עם שורש, בצורה הפשוטה ביותר.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle M$ אמצע המיתר $\displaystyle AB$.
ההמשך של $\displaystyle OM$ פוגש את המעגל בנקודה $\displaystyle C$.
הוכיחו: $\displaystyle {CA}={CB}$.

המעגל: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$, והמרכז שלו $\displaystyle O(0,0)$.
$\displaystyle AB$ מיתר: $\displaystyle A(-3,4)$ ו-$\displaystyle B(5,0)$.
$\displaystyle M$ אמצע המיתר.

מצאו את שיעורי הנקודה $\displaystyle M$.