המעגל: הגדרות ומושגים

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שהמרחק שלהן מנקודה אחת, מרכז המעגל, שווה למספר קבוע $\displaystyle R$.

• רדיוס הוא קטע שמחבר את המרכז עם נקודה על המעגל. כל הרדיוסים במעגל שווים, ואורכם $\displaystyle R$.
• מיתר הוא קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל – בשרטוט $\displaystyle BC$.
• קוטר הוא מיתר שעובר דרך המרכז – בשרטוט $\displaystyle DE$. אורכו שני רדיוסים: $\displaystyle 2R$.

מכאן, לכל נקודה $\displaystyle P$:

• $\displaystyle P$ על המעגל אם $\displaystyle {OP}={R}$;
• $\displaystyle P$ בתוך המעגל אם $\displaystyle OP<R$;
• $\displaystyle P$ מחוץ למעגל אם $\displaystyle OP>R$.

שתי נקודות על המעגל מחלקות אותו לשתי קשתות. זווית מרכזית היא זווית שהקודקוד שלה במרכז המעגל, ושתי השוקיים שלה רדיוסים.

• הזווית המרכזית $\displaystyle \angle AOB$ נשענת על הקשת $\displaystyle AB$ שבתוכה.
• המידה הזוויתית של קשת היא הזווית המרכזית הנשענת עליה. בשרטוט הקשת $\displaystyle AB$ שבתוך הזווית היא $\displaystyle 70^{\circ}$.

המיתר $\displaystyle AB$ מחלק את המעגל לקשת קטנה – זו שהזווית המרכזית $\displaystyle \angle AOB$ נשענת עליה – ולקשת גדולה, שהיא כל השאר: $\displaystyle {360^{\circ}-70^{\circ}}={290^{\circ}}$.

זווית היקפית היא זווית שהקודקוד שלה על המעגל ושתי השוקיים שלה מיתרים. תלמדו עליה בשיעור “זווית היקפית”.

עיגול הוא המעגל יחד עם כל הנקודות שבתוכו: המעגל הוא הקו, העיגול הוא השטח שהקו סוגר.

• גזרה היא חלק של עיגול בין שני רדיוסים והקשת שביניהם – כמו משולש של פיצה.
• לגזרה יש זווית מרכזית. גזרה של $\displaystyle 90^{\circ}$ היא רבע עיגול, כי $\displaystyle {\frac{90}{360}}={\frac{1}{4}}$.

במערכת צירים מוצאים את המרחק של נקודה מהמרכז בנוסחת המרחק בין שתי נקודות, ומשווים אותו לרדיוס.

דוגמה: מרכז המעגל $\displaystyle M(1,2)$, והרדיוס $\displaystyle 5$.
האם הנקודה $\displaystyle P(4,6)$ על המעגל?

$\displaystyle {MP}={R}$, ולכן $\displaystyle P$ על המעגל.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle A$, $\displaystyle B$ נקודות על המעגל.
$\displaystyle {\angle AOB}={124^{\circ}}$.

הנקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ על מעגל מחלקות אותו לשלוש קשתות: $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$ ו-$\displaystyle CA$.
הקשת $\displaystyle AB$ היא $\displaystyle 100^{\circ}$, והקשת $\displaystyle BC$ היא $\displaystyle 150^{\circ}$.
כמה מעלות הקשת $\displaystyle CA$?

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו-$\displaystyle CD$ קוטר.
$\displaystyle AB$ מיתר שאינו עובר דרך $\displaystyle O$.
הוכיחו: $\displaystyle AB<CD$ – כלומר, הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר.

מרכז המעגל $\displaystyle M(2,-1)$, והרדיוס $\displaystyle 5$.
הנקודות: $\displaystyle P(5,3)$, $\displaystyle Q(-1,2)$, $\displaystyle S(7,2)$.

איזו נקודה על המעגל, איזו בתוכו ואיזו מחוצה לו? נמקו.