משוואת המעגל

נקודה $\displaystyle (x,y)$ נמצאת על המעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$ בדיוק כשהמרחק שלה מהמרכז הוא $\displaystyle R$:

נעלה את שני האגפים בריבוע, ונקבל את המשוואה הכללית של המעגל:

כשהמרכז בראשית הצירים, $\displaystyle {a}={0}$ ו-$\displaystyle {b}={0}$, ומתקבלת המשוואה הקנונית:

מהמשוואה הכללית קוראים את המרכז ואת הרדיוס. שימו לב לסימנים: המשוואה כתובה עם מינוס, $\displaystyle (x-a)$ ו-$\displaystyle (y-b)$.

• $\displaystyle {(x+1)^{2}+(y-3)^{2}}={25}$: כאן $\displaystyle {x+1}={x-(-1)}$, ולכן המרכז $\displaystyle (-1,3)$, והרדיוס $\displaystyle {\sqrt{25}}={5}$.
• $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={4}$: המרכז $\displaystyle (0,0)$, והרדיוס $\displaystyle 2$ (בקו מקווקו).
• $\displaystyle {x^{2}+(y-4)^{2}}={7}$: המרכז $\displaystyle (0,4)$, והרדיוס $\displaystyle \sqrt{7}$.

נקודה נמצאת על המעגל אם השיעורים שלה מקיימים את המשוואה. מציבים, ומשווים ל-$\displaystyle R^{2}$: שווה – על המעגל; קטן – בתוכו; גדול – מחוצה לו.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$ והנקודה $\displaystyle A(6,2)$.

התוצאה שווה ל-$\displaystyle 25$, ולכן $\displaystyle A$ על המעגל.

כשידועים המרכז ונקודה על המעגל, הרדיוס הוא המרחק ביניהם. בדרך כלל אין צורך בשורש: במשוואה צריך את $\displaystyle R^{2}$.

דוגמה: מרכז המעגל $\displaystyle (3,-2)$, והמעגל עובר דרך $\displaystyle (6,2)$.

משוואת המעגל: $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}={25}$.

מרכז המעגל הוא אמצע כל קוטר, והרדיוס הוא חצי הקוטר.

דוגמה: $\displaystyle AB$ קוטר, $\displaystyle A(6,2)$ ו-$\displaystyle B(-2,8)$.

• המרכז הוא אמצע $\displaystyle AB$: $\displaystyle {\left(\frac{6+(-2)}{2},\frac{2+8}{2}\right)}={(2,5)}$.
• הקוטר: $\displaystyle {AB}={\sqrt{(6+2)^{2}+(2-8)^{2}}}={\sqrt{100}}={10}$, ולכן $\displaystyle {R}={5}$.
• משוואת המעגל: $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$.

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל מעגל.

$\displaystyle {(x-4)^{2}+(y+1)^{2}}={16}$

$\displaystyle {(x+5)^{2}+y^{2}}={3}$

$\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={49}$

כתבו את משוואת המעגל שבשרטוט. המרכז והרדיוס שלו הם מספרים שלמים.

המעגל: $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}}={25}$.

איזו מהנקודות על המעגל, ואיזו בתוכו? נמקו.

מרכז המעגל $\displaystyle M(-3,2)$, והמעגל עובר דרך הנקודה $\displaystyle P(1,5)$.
כתבו את משוואת המעגל.

$\displaystyle AB$ קוטר של מעגל: $\displaystyle A(-1,4)$ ו-$\displaystyle B(5,-4)$.
כתבו את משוואת המעגל.