דלג לתוכן

היקף המעגל, שטח העיגול והמספר π

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20לימוד

היקף המעגל, שטח העיגול והמספר π

היקף המעגל ושטח העיגול

היקף המעגל הוא פי π\displaystyle \pi מהקוטר, ושטח העיגול הוא פי π\displaystyle \pi מריבוע הרדיוס; π≈3.14159\displaystyle \pi\approx3.14159.

P\displaystyle P =\displaystyle = 2πR\displaystyle 2\pi R
S\displaystyle S =\displaystyle = πR2\displaystyle \pi R^{2}
  • R\displaystyle R – הרדיוס; הקוטר הוא 2R\displaystyle 2R.
  • במחשבון יש מקש π\displaystyle \pi. השתמשו בו, ועגלו רק בסוף.
אורך קשת ושטח גזרה

גזרה היא החלק של העיגול שבין שני רדיוסים לבין הקשת שביניהם. זווית מרכזית של α\displaystyle \alpha מעלות היא α360\displaystyle \frac{\alpha}{360} מהסיבוב השלם, ולכן גם הקשת שלה והגזרה שלה הן החלק הזה מההיקף ומהשטח.

l\displaystyle l =\displaystyle = α360⋅2πR\displaystyle \frac{\alpha}{360}\cdot2\pi R
S\displaystyle S =\displaystyle = α360⋅πR2\displaystyle \frac{\alpha}{360}\cdot\pi R^{2}

דוגמה: R=6\displaystyle {R}={6}, α=60∘\displaystyle {\alpha}={60^{\circ}} – שישית מהמעגל.

l=60360⋅2π⋅6=2π≈6.28S=60360⋅π⋅62=6π≈18.85l=\frac{60}{360}\cdot2\pi\cdot6=2\pi\approx6.28\qquad S=\frac{60}{360}\cdot\pi\cdot6^{2}=6\pi\approx18.85
תרגיל 1

הקוטר של גלגל אופניים הוא 70\displaystyle 70 ס"מ.
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א
מה היקף הגלגל, בס"מ?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    כמה סיבובים עושה הגלגל בנסיעה של ק"מ אחד (100,000\displaystyle 100{,}000 ס"מ)?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      בעיגול שרדיוסו 10\displaystyle 10 ס"מ יש גזרה שהזווית המרכזית שלה 72∘\displaystyle 72^{\circ}.
      עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

      א
      מה אורך הקשת של הגזרה, בס"מ?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        מה שטח הגזרה, בסמ"ר?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          שטח של עיגול הוא 50\displaystyle 50 סמ"ר.
          מה הרדיוס שלו, בס"מ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            אומדן של π
            כל המעגלים דומים זה לזה. הגדלה פי k\displaystyle k מכפילה את ההיקף ב-k\displaystyle k ואת השטח ב-k2\displaystyle k^{2}, ולכן היחסים P2R\displaystyle \frac{P}{2R} ו-SR2\displaystyle \frac{S}{R^{2}} לא תלויים במעגל: הם אותו מספר בכל המעגלים.

            את π\displaystyle \pi אפשר לאמוד בעזרת שטח בעזרת סינוס: חוסמים במעגל שרדיוסו 1\displaystyle 1 מצולע משוכלל בעל n\displaystyle n צלעות, ומחברים את המרכז לקודקודים.

            • מתקבלים n\displaystyle n משולשים שווי שוקיים. בכל אחד שתי צלעות של 1\displaystyle 1, והזווית ביניהן 360∘n\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}.
            • שטח המצולע: n⋅12⋅1⋅1⋅sin⁡360∘n\displaystyle n\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin\frac{360^{\circ}}{n}.
            • ככל ש-n\displaystyle n גדל, המצולע ממלא את העיגול, והשטח שלו מתקרב לשטח העיגול – ל-π⋅12=π\displaystyle {\pi\cdot1^{2}}={\pi}.

            בשרטוט מתומן משוכלל (n=8\displaystyle {n}={8}): 8⋅12⋅sin⁡45∘=22≈2.83\displaystyle {8\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin45^{\circ}}={2\sqrt{2}\approx2.83}.

            שני הקבועים – היקף חלקי קוטר, ושטח חלקי ריבוע הרדיוס – הם אותו מספר: הגובה של כל משולש קרוב לרדיוס, ולכן שטח המצולע קרוב למחצית ההיקף שלו כפול R\displaystyle R. בעיגול: S=12⋅2πR⋅R=πR2\displaystyle {S}={\frac{1}{2}\cdot2\pi R\cdot R}={\pi R^{2}}.

            תרגיל 4

            מצולע משוכלל חסום במעגל שרדיוסו 1\displaystyle 1.
            חשבו את שטח המצולע. עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

            א
            מצולע בעל 12\displaystyle 12 צלעות.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              מצולע בעל 96\displaystyle 96 צלעות.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                π בתולדות המתמטיקה

                אנשים חישבו את π\displaystyle \pi כבר לפני אלפי שנים, בכל פעם קצת יותר מדויק:

                • בבל, לפני יותר מ-3,600 שנה: לוח חרס מסוסה נותן 318=3.125\displaystyle {3\frac{1}{8}}={3.125}.
                • מצרים, פפירוס רינד (כ-1650 לפני הספירה): שטח עיגול שקוטרו 9\displaystyle 9 כשטח ריבוע שצלעו 8\displaystyle 8 – כלומר π≈25681≈3.16\displaystyle \pi\approx\frac{256}{81}\approx3.16.
                • התנ"ך, מלכים א’ ז’, כג: ה"ים" שבנה שלמה – עשר אמות “משפתו אל שפתו”, ו"קו שלשים באמה יסב אותו סביב": π≈3\displaystyle \pi\approx3.
                • ארכימדס, המאה ה-3 לפני הספירה: בעזרת מצולעים משוכללים בעלי 96\displaystyle 96 צלעות, חסומים וחוסמים, הראה ש-31071<π<317\displaystyle 3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}.
                • ליו הווי, סין, המאה ה-3 לספירה: בעזרת מצולעים בעלי 3072\displaystyle 3072 צלעות, π≈3.1416\displaystyle \pi\approx3.1416.
                • זו צ’ונגז’י, סין, המאה ה-5: 3.1415926<π<3.1415927\displaystyle 3.1415926<\pi<3.1415927, והשבר 355113\displaystyle \frac{355}{113}.

                היום מחשבים יודעים טריליוני ספרות של π\displaystyle \pi. המספר אינו שבר, והספרות שלו אחרי הנקודה לא נגמרות ולא חוזרות על עצמן.