משולש חסום במעגל

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

משולש חסום במעגל

משולש חסום במעגל כששלושת הקודקודים שלו על המעגל. המעגל הזה הוא המעגל החוסם את המשולש.

משפט: כל משולש ניתן לחסום במעגל.

המרכז של המעגל החוסם נמצא במרחקים שווים משלושת הקודקודים – הרדיוס. לכן מחפשים נקודה כזאת.

נקודת המפגש של האנכים האמצעיים

מכיתה י’: האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע. כלומר, כל נקודה עליו נמצאת במרחקים שווים מהקצוות, וכל נקודה במרחקים שווים מהקצוות נמצאת עליו.

משפט: במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

נתון: $\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle N$ אמצע $\displaystyle BC$ .
האנכים האמצעיים $\displaystyle SM\perp AB$ ו- $\displaystyle SN\perp BC$ נפגשים בנקודה $\displaystyle S$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle S$ נמצאת גם על האנך האמצעי ל- $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle {SA}={SB}={SC}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה ש- $\displaystyle S$ נמצאת במרחקים שווים משלושת הקודקודים. מזה נובעים שני הדברים: האנך האמצעי השלישי עובר דרכה, והמעגל שמרכזו $\displaystyle S$ עובר דרך $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle C$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {SA}={SB}$	$\displaystyle S$ על האנך האמצעי ל- $\displaystyle AB$ : כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחקים שווים מקצותיו
2	$\displaystyle {SB}={SC}$	$\displaystyle S$ על האנך האמצעי ל- $\displaystyle BC$ , מאותה סיבה
3	$\displaystyle {SA}={SC}$	(1), (2)
4	$\displaystyle SK\perp AC$	(3); $\displaystyle K$ אמצע $\displaystyle AC$ . נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו – $\displaystyle SK$ הוא האנך האמצעי ל- $\displaystyle AC$
5	$\displaystyle {SA}={SB}={SC}$	(1), (2); לכן המעגל שמרכזו $\displaystyle S$ ורדיוסו $\displaystyle SA$ עובר דרך שלושת הקודקודים

היכן נמצא מרכז המעגל החוסם

המקום של המרכז תלוי בזווית הגדולה של המשולש:

במשולש חד זווית – בתוך המשולש;
במשולש ישר זווית – באמצע היתר (השיעור על זווית היקפית הנשענת על קוטר);
במשולש קהה זווית – מחוץ למשולש, מעבר לצלע שמול הזווית הקהה.

דוגמה: אנך אמצעי במערכת צירים

קודקודי המשולש הם $\displaystyle A(6,8)$ , $\displaystyle B(7,1)$ ו- $\displaystyle C(-2,4)$ .
נמצא את משוואת האנך האמצעי לצלע $\displaystyle BC$ .

האמצע של $\displaystyle BC$ : $\displaystyle {\left(\frac{7+(-2)}{2},\frac{1+4}{2}\right)}={(2.5,2.5)}$ .
השיפוע של $\displaystyle BC$ : $\displaystyle {m_{BC}}={\frac{4-1}{-2-7}}={-\frac{1}{3}}$ .
האנך מאונך ל- $\displaystyle BC$ , ולכן השיפוע שלו $\displaystyle 3$ (מכפלת השיפועים $\displaystyle -1$ ).
הישר ששיפועו $\displaystyle 3$ ועובר דרך $\displaystyle (2.5,2.5)$ :

y-2.5=3(x-2.5)\quad\Rightarrow\quad y=3x-5

תרגיל 1

ממשיכים עם המשולש שבדוגמה: $\displaystyle A(6,8)$ , $\displaystyle B(7,1)$ , $\displaystyle C(-2,4)$ .
האנך האמצעי ל- $\displaystyle BC$ הוא $\displaystyle {y}={3x-5}$ .

מצאו את משוואת האנך האמצעי לצלע $\displaystyle AB$ , וכתבו אותה בשורה של לוח הגרפים.

\displaystyle A=(6,8)

\displaystyle B=(7,1)

\displaystyle C=(-2,4)

\displaystyle y=3x-5

מצאו את נקודת החיתוך

\displaystyle S

של שני האנכים האמצעיים.

חשבו את

\displaystyle SA

. (חשבו גם את

\displaystyle SB

ו-

\displaystyle SC

– מה קיבלתם?)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו את משוואת המעגל החוסם את המשולש $\displaystyle ABC$ .

\displaystyle A=(6,8)

\displaystyle B=(7,1)

\displaystyle C=(-2,4)

תרגיל 2

קודקודי המשולש הם $\displaystyle A(5,6)$ , $\displaystyle B(-1,2)$ ו- $\displaystyle C(0,7)$ .

חשבו את מכפלת השיפועים של

\displaystyle AC

ושל

\displaystyle BC

. איזה משולש הוא

\displaystyle ABC

המרכז של המעגל החוסם הוא אמצע היתר

\displaystyle AB

. חשבו את הרדיוס.

כתבו את משוואת המעגל החוסם את המשולש $\displaystyle ABC$ .

\displaystyle A=(5,6)

\displaystyle B=(-1,2)

\displaystyle C=(0,7)

תרגיל 3

$\displaystyle S$ מרכז המעגל החוסם את המשולש $\displaystyle ABC$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle SAB}={\angle SBA}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$