דלג לתוכן

מרובע חסום במעגל

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 11 מתוך 20לימוד

מרובע חסום במעגל

הזוויות הנגדיות במרובע חסום

מרובע חסום במעגל כשארבעת הקודקודים שלו על המעגל.

משפט: ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם הסכום של זוג זוויות נגדיות של המרובע שווה ל-180∘\displaystyle 180^{\circ}.

∠A+∠C\displaystyle \angle A+\angle C =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}

נוכיח את הכיוון הראשון.
נתון: המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
צריך להוכיח: ∠BAD+∠BCD=180∘\displaystyle {\angle BAD+\angle BCD}={180^{\circ}}.

בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסונים, ונחליף כל אחד משני החלקים של ∠BAD\displaystyle \angle BAD בזווית היקפית השווה לו במשולש BCD\displaystyle BCD:

טענהנימוק
1∠BAC=∠BDC\displaystyle {\angle BAC}={\angle BDC}זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת BC\displaystyle BC
2∠CAD=∠CBD\displaystyle {\angle CAD}={\angle CBD}זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת CD\displaystyle CD
3∠BAD=∠BDC+∠CBD\displaystyle {\angle BAD}={\angle BDC+\angle CBD}(1), (2); ∠BAD=∠BAC+∠CAD\displaystyle {\angle BAD}={\angle BAC+\angle CAD}
4∠BCD+∠CBD+∠BDC=180∘\displaystyle {\angle BCD+\angle CBD+\angle BDC}={180^{\circ}}סכום הזוויות במשולש BCD\displaystyle BCD
5∠BAD+∠BCD=180∘\displaystyle {\angle BAD+\angle BCD}={180^{\circ}}(3), (4)
הכיוון השני

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}, אז אפשר לחסום אותו במעגל.

  • גם הזוג השני של זוויות נגדיות מסתכם אז ב-180∘\displaystyle 180^{\circ}: סכום הזוויות במרובע 360∘\displaystyle 360^{\circ}.
  • מלבן וריבוע אפשר לחסום במעגל: כל הזוויות 90∘\displaystyle 90^{\circ}.
  • מקבילית שאינה מלבן אי אפשר לחסום: הזוויות הנגדיות שלה שוות, ולכן הסכום שלהן 180∘\displaystyle 180^{\circ} רק כשכל אחת 90∘\displaystyle 90^{\circ}.
תרגיל 1

המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
∠A=75∘\displaystyle {\angle A}={75^{\circ}} ו-∠B=110∘\displaystyle {\angle B}={110^{\circ}}.

א
חשבו את ∠C\displaystyle \angle C.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    חשבו את ∠D\displaystyle \angle D.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
      היחס בין הזוויות הנגדיות ∠A\displaystyle \angle A ו-∠C\displaystyle \angle C הוא 2:3\displaystyle 2:3.

      א
      חשבו את ∠A\displaystyle \angle A.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        חשבו את ∠C\displaystyle \angle C.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3
          רמז: מה הסכום ∠D+∠B\displaystyle \angle D+\angle B במרובע החסום? ומה הסכום ∠C+∠B\displaystyle \angle C+\angle B ליד השוק BC\displaystyle BC של הטרפז?

          משפט: אם טרפז חסום במעגל, אז הוא טרפז שווה שוקיים.

          הוכיחו את המשפט בעצמכם.
          נתון: הטרפז ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל, AB∥DC\displaystyle AB\parallel DC.
          צריך להוכיח: AD=BC\displaystyle {AD}={BC}.

          תרגיל 4

          במעגל (x−7)2+(y−20)2=169\displaystyle {(x-7)^{2}+(y-20)^{2}}={169} חסום המרובע ABCD\displaystyle ABCD.
          קודקודיו הם A(−6,20)\displaystyle A(-6,20), B(2,32)\displaystyle B(2,32), C(12,32)\displaystyle C(12,32) ו-D(20,20)\displaystyle D(20,20).

          (x−7)2+(y−20)2=169\displaystyle (x-7)^{2}+(y-20)^{2}=169
          A=(−6,20)\displaystyle A=(-6,20)
          B=(2,32)\displaystyle B=(2,32)
          C=(12,32)\displaystyle C=(12,32)
          D=(20,20)\displaystyle D=(20,20)
          א
          הציבו את B\displaystyle B באגף השמאלי של משוואת המעגל. האם B\displaystyle B על המעגל?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            הסבירו למה AD∥BC\displaystyle AD\parallel BC.

            ג
            חשבו את אורך השוק AB\displaystyle AB. (את CD\displaystyle CD מחשבים באותה דרך, ומקבלים אותו אורך: הטרפז שווה שוקיים.)

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ד
              חשבו את ∠DAB\displaystyle \angle DAB מהשיפוע של AB\displaystyle AB, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ה
                חשבו את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ו
                  חשבו את שטח הטרפז.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה