דלג לתוכן

זווית היקפית

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

זווית היקפית

הגדרת הזווית ההיקפית

זווית היקפית היא זווית שהקודקוד שלה על המעגל, ושתי השוקיים שלה מיתרים.

  • בשרטוט, ∠ACB\displaystyle \angle ACB זווית היקפית: הקודקוד C\displaystyle C על המעגל, ו-CA\displaystyle CA, CB\displaystyle CB מיתרים.
  • היא נשענת על הקשת AB\displaystyle AB – הקשת שבתוך הזווית, זו שאין עליה את C\displaystyle C.
  • הזווית המרכזית ∠AOB\displaystyle \angle AOB נשענת על אותה קשת.
זווית היקפית וזווית מרכזית
כאן המרכז O\displaystyle O בתוך הזווית ACB\displaystyle ACB. כשהמרכז על אחת השוקיים או מחוץ לזווית, ההוכחה דומה: אותו קוטר CD\displaystyle CD, ובשלב האחרון מחסרים במקום לחבר.

משפט: במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

נתון: O\displaystyle O מרכז המעגל; A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C על המעגל.
צריך להוכיח: ∠AOB=2∠ACB\displaystyle {\angle AOB}={2\angle ACB}.

בהוכחה שלפניכם נעביר את הקוטר CD\displaystyle CD, ונראה שכל זווית מרכזית בצד אחד שלו היא פי שניים מהזווית ההיקפית שלידה – בעזרת משולש שווה שוקיים וזווית חיצונית:

טענהנימוק
1OA=OC\displaystyle {OA}={OC}רדיוסים במעגל
2∠OAC=∠OCA\displaystyle {\angle OAC}={\angle OCA}(1); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
3∠AOD=∠OAC+∠OCA\displaystyle {\angle AOD}={\angle OAC+\angle OCA}זווית חיצונית למשולש AOC\displaystyle AOC שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
4∠AOD=2∠ACO\displaystyle {\angle AOD}={2\angle ACO}(2), (3)
5∠BOD=2∠BCO\displaystyle {\angle BOD}={2\angle BCO}באותה דרך, במשולש שווה השוקיים BOC\displaystyle BOC (OB=OC\displaystyle {OB}={OC})
6∠AOB=2∠ACB\displaystyle {\angle AOB}={2\angle ACB}(4), (5); נחבר את השוויונות, כי ∠AOB=∠AOD+∠BOD\displaystyle {\angle AOB}={\angle AOD+\angle BOD} ו-∠ACB=∠ACO+∠BCO\displaystyle {\angle ACB}={\angle ACO+\angle BCO}
זווית היקפית וקשת

המידה של קשת היא הזווית המרכזית הנשענת עליה. לכן אפשר לומר את המשפט גם כך: זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת.

∠ACB\displaystyle \angle ACB =\displaystyle = 12∠AOB\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB

דוגמה: הקשת AB\displaystyle AB היא 100∘\displaystyle 100^{\circ}. כל זווית היקפית הנשענת עליה היא 100∘2=50∘\displaystyle {\frac{100^{\circ}}{2}}={50^{\circ}}.

זוויות היקפיות על אותה קשת

משפט: במעגל, זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות זו לזו.

נתון: C\displaystyle C ו-D\displaystyle D על המעגל, באותו צד של המיתר AB\displaystyle AB.
צריך להוכיח: ∠ACB=∠ADB\displaystyle {\angle ACB}={\angle ADB}.

בהוכחה שלפניכם נשווה כל אחת מהזוויות לאותה זווית מרכזית, ∠AOB\displaystyle \angle AOB:

טענהנימוק
1∠ACB=12∠AOB\displaystyle {\angle ACB}={\frac{1}{2}\angle AOB}זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
2∠ADB=12∠AOB\displaystyle {\angle ADB}={\frac{1}{2}\angle AOB}מאותו משפט
3∠ACB=∠ADB\displaystyle {\angle ACB}={\angle ADB}(1), (2)
קשתות, מיתרים וזוויות היקפיות שוות

מאותה סיבה – כל זווית היקפית היא מחצית הקשת שלה – מתקבלים גם המשפטים האלה:

  • במעגל, לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  • במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

הם עובדים גם בשני מעגלים שווים (שהרדיוסים שלהם שווים).

תרגיל 1

O\displaystyle O מרכז המעגל, ∠AOB=140∘\displaystyle {\angle AOB}={140^{\circ}}.
C\displaystyle C ו-D\displaystyle D על המעגל, באותו צד של AB\displaystyle AB.

א
חשבו את ∠ACB\displaystyle \angle ACB.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    חשבו את ∠ADB\displaystyle \angle ADB.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      המשולש ABC\displaystyle ABC חסום במעגל שמרכזו O\displaystyle O, והרדיוס של המעגל הוא 6\displaystyle 6.
      ∠BAC=30∘\displaystyle {\angle BAC}={30^{\circ}}.

      א
      חשבו את ∠BOC\displaystyle \angle BOC.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        חשבו את אורך המיתר BC\displaystyle BC. (רמז: איזה משולש הוא BOC\displaystyle BOC?)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C, D\displaystyle D על מעגל.
          המיתרים AC\displaystyle AC ו-BD\displaystyle BD נחתכים בנקודה E\displaystyle E.
          הוכיחו: △AED∼△BEC\displaystyle \triangle AED\sim\triangle BEC.

          תרגיל 4

          המרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל.
          ∠BAC=∠CAD\displaystyle {\angle BAC}={\angle CAD}.
          הוכיחו: BC=CD\displaystyle {BC}={CD}.