מעגל חסום במשולש

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

מעגל חסום במשולש

מכיתה י’: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית; ונקודה בתוך זווית, שנמצאת במרחקים שווים משוקיה, נמצאת על חוצה הזווית. המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך ממנה לישר.

מעגל חסום במשולש הוא מעגל שמשיק לשלוש הצלעות של המשולש. המשולש הוא משולש חוסם מעגל.

המרכז של מעגל כזה נמצא במרחקים שווים משלוש הצלעות – כל מרחק הוא רדיוס, מאונך לצלע בנקודת ההשקה.
לכן המרכז נמצא על חוצה כל אחת מזוויות המשולש.

מרכז המעגל החסום במשולש

משפט: שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש. לכן בכל משולש אפשר לחסום מעגל.

נתון: $\displaystyle AI$ חוצה את $\displaystyle \angle A$ , ו- $\displaystyle BI$ חוצה את $\displaystyle \angle B$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle CI$ חוצה את $\displaystyle \angle C$ , והמעגל שמרכזו $\displaystyle I$ משיק לשלוש הצלעות.

בהוכחה שלפניכם נוריד מ- $\displaystyle I$ אנכים לשלוש הצלעות ונראה שהם שווים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {IF}={IE}$	$\displaystyle I$ על חוצה הזווית $\displaystyle A$ , ולכן במרחקים שווים משוקי הזווית
2	$\displaystyle {IF}={ID}$	$\displaystyle I$ על חוצה הזווית $\displaystyle B$
3	$\displaystyle {ID}={IE}$	(1), (2)
4	$\displaystyle {\angle ICA}={\angle ICB}$	(3); $\displaystyle I$ בתוך הזווית $\displaystyle C$ ובמרחקים שווים משוקיה, ולכן על חוצה הזווית
5	$\displaystyle {ID}={IE}={IF}$	(1), (2); המעגל שמרכזו $\displaystyle I$ ורדיוסו $\displaystyle ID$ עובר ב- $\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ , $\displaystyle F$ , וכל צלע מאונכת לרדיוס בקצהו – ולכן משיקה למעגל

קטעי המשיקים מהקודקודים

המעגל החסום משיק לצלעות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle BC$ , $\displaystyle CA$ בנקודות $\displaystyle F$ , $\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ . מכל קודקוד יוצאים שני משיקים, ולכן שני קטעי משיקים שווים:

$\displaystyle {AF}={AE}$ , $\displaystyle {BF}={BD}$ , $\displaystyle {CD}={CE}$ .
כל צלע היא סכום של שני קטעים כאלה – למשל $\displaystyle {AB}={AF+FB}$ .

דוגמה: $\displaystyle {AB}={9}$ , $\displaystyle {BC}={8}$ , $\displaystyle {CA}={7}$ . נסמן $\displaystyle {AF}={AE}={x}$ , ואז $\displaystyle {BF}={BD}={9-x}$ ו- $\displaystyle {CE}={CD}={7-x}$ . הצלע $\displaystyle BC$ היא $\displaystyle BD+DC$ :

(9-x)+(7-x)=8\quad\Rightarrow\quad 16-2x=8\quad\Rightarrow\quad x=4

המעגל החסום במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית, עם הניצבים $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ והיתר $\displaystyle c$ , יש נוסחה פשוטה לרדיוס $\displaystyle r$ של המעגל החסום:

ליד הזווית הישרה נוצר ריבוע: שתי צלעותיו רדיוסים, ושתיים – קטעי המשיקים מהקודקוד הישר. לכן שני קטעי המשיקים האלה שווים ל- $\displaystyle r$ .
שאר הניצבים: $\displaystyle a-r$ ו- $\displaystyle b-r$ – וגם הם קטעי משיקים, ושני הקטעים שעל היתר: $\displaystyle {(a-r)+(b-r)}={c}$ .

\displaystyle r

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a+b-c}{2}

דוגמה: במשולש שהצלעות שלו $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 5$ : $\displaystyle {r}={\frac{3+4-5}{2}}={1}$ .

תרגיל 1

המעגל החסום במשולש $\displaystyle ABC$ משיק לצלעות $\displaystyle AB$ , $\displaystyle BC$ , $\displaystyle CA$ בנקודות $\displaystyle F$ , $\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ .
$\displaystyle {AB}={12}$ , $\displaystyle {BC}={10}$ , $\displaystyle {CA}={8}$ .
חשבו את $\displaystyle AF$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הניצבים של משולש ישר זווית הם $\displaystyle 5$ ו- $\displaystyle 12$ .
חשבו את הרדיוס של המעגל החסום במשולש.

תרגיל 3

המשולש $\displaystyle ABO$ ישר זווית, והנקודה $\displaystyle O$ היא ראשית הצירים.
הצלע $\displaystyle AO$ על ציר ה- $\displaystyle x$ , והצלע $\displaystyle BO$ על ציר ה- $\displaystyle y$ .
במשולש חסום מעגל שמרכזו $\displaystyle C$ , ברביע השני.
הצלעות $\displaystyle AO$ , $\displaystyle BO$ ו- $\displaystyle AB$ משיקות למעגל בנקודות $\displaystyle D$ , $\displaystyle E$ ו- $\displaystyle F$ .

הוכיחו: המרובע $\displaystyle OECD$ הוא ריבוע.

הוכיחו: המרובע $\displaystyle ADCF$ הוא דלתון.

$\displaystyle D(-2,0)$ .
מצאו את משוואת המעגל.

\displaystyle D=(-2,0)

השיפוע של הצלע $\displaystyle AB$ הוא $\displaystyle \frac{3}{4}$ .

חשבו את

\displaystyle \angle CAD

, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חשבו את השטח של הטרפז

\displaystyle ACEO

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$