דלג לתוכן

משפט הסינוסים

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

בכל משולש, היחס בין צלע לבין הסינוס של הזווית שמולה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש.

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R
  • a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c – הצלעות; α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta, γ\displaystyle \gamma – הזוויות שמולן, בהתאמה.
  • R\displaystyle R – רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
  • המשפט מקשר בין צלעות לזוויות בכל משולש, לא רק במשולש ישר זווית.
הוכחת משפט הסינוסים
כשהזווית α\displaystyle \alpha קהה, D\displaystyle D נמצאת בצד השני של BC\displaystyle BC, ואז ∠BDC=180∘−α\displaystyle {\angle BDC}={180^{\circ}-\alpha}. מכיוון ש-sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\alpha)}={\sin\alpha}, מתקבלת אותה תוצאה. כשהזווית α\displaystyle \alpha ישרה, BC\displaystyle BC עצמו קוטר, ו-a=2R\displaystyle {a}={2R}.

נתון: המשולש ABC\displaystyle ABC חסום במעגל שמרכזו O\displaystyle O ורדיוסו R\displaystyle R, והזווית α=∠BAC\displaystyle {\alpha}={\angle BAC} חדה.
צריך להוכיח: asin⁡α=2R\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}={2R}.

בהוכחה שלפניכם נעביר את הקוטר BD\displaystyle BD, ונראה שהמשולש BCD\displaystyle BCD ישר זווית ושהזווית D\displaystyle D שלו שווה ל-α\displaystyle \alpha:

טענהנימוק
1BD=2OB\displaystyle {BD}={2OB}BD\displaystyle BD קוטר, ולכן BD=2R\displaystyle {BD}={2R}
2∠BCD=90∘\displaystyle {\angle BCD}={90^{\circ}}זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
3∠BDC=∠BAC\displaystyle {\angle BDC}={\angle BAC}זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת BC\displaystyle BC שוות

מכאן טריגונומטריה במשולש ישר הזווית BCD\displaystyle BCD: היתר הוא BD=2R\displaystyle {BD}={2R}, והניצב מול הזווית D\displaystyle D הוא BC=a\displaystyle {BC}={a}.

sin⁡α=sin⁡∠BDC=BCBD=a2R⇒asin⁡α=2R\sin\alpha=\sin\angle BDC=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{\sin\alpha}=2R

באותה דרך, בעזרת קוטר שעובר דרך קודקוד אחר, bsin⁡β=2R\displaystyle {\frac{b}{\sin\beta}}={2R} ו-csin⁡γ=2R\displaystyle {\frac{c}{\sin\gamma}}={2R}.

דוגמה: חישוב צלע

כשידועות שתי זוויות וצלע, אפשר לחשב כל צלע אחרת: בוחרים שני יחסים – אחד שהכול ידוע בו, ואחד שיש בו את הצלע שמחפשים.

במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: ∠B=40∘\displaystyle {\angle B}={40^{\circ}}, ∠C=75∘\displaystyle {\angle C}={75^{\circ}}, AB=10\displaystyle {AB}={10}.
נחשב את AC\displaystyle AC.

  • AC\displaystyle AC מול ∠B\displaystyle \angle B, ו-AB\displaystyle AB מול ∠C\displaystyle \angle C:
ACsin⁡40∘=10sin⁡75∘⇒AC=10⋅sin⁡40∘sin⁡75∘≈6.65\frac{AC}{\sin40^{\circ}}=\frac{10}{\sin75^{\circ}}\quad\Rightarrow\quad AC=\frac{10\cdot\sin40^{\circ}}{\sin75^{\circ}}\approx6.65
דוגמה: רדיוס המעגל החוסם

צלע אחת והזווית שמולה מספיקות כדי לחשב את רדיוס המעגל החוסם.

במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: BC=12\displaystyle {BC}={12}, ∠A=50∘\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}.
נחשב את R\displaystyle R:

2R=12sin⁡50∘⇒R=122sin⁡50∘≈7.832R=\frac{12}{\sin50^{\circ}}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{12}{2\sin50^{\circ}}\approx7.83
דוגמה: חישוב זווית
במשולש, מול הצלע הקצרה יותר נמצאת הזווית הקטנה יותר. לכן זווית שמול צלע שאינה הארוכה ביותר היא חדה, ו-sin⁡−1\displaystyle \sin^{-1} נותן אותה.

כששתי צלעות ידועות, וגם הזווית שמול אחת מהן, משפט הסינוסים נותן את הסינוס של הזווית שמול השנייה.

במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: BC=8\displaystyle {BC}={8}, AC=6\displaystyle {AC}={6}, ∠A=70∘\displaystyle {\angle A}={70^{\circ}}.
נחשב את ∠B\displaystyle \angle B.

6sin⁡∠B=8sin⁡70∘⇒sin⁡∠B=6⋅sin⁡70∘8≈0.7048\frac{6}{\sin\angle B}=\frac{8}{\sin70^{\circ}}\quad\Rightarrow\quad\sin\angle B=\frac{6\cdot\sin70^{\circ}}{8}\approx0.7048
  • ∠B\displaystyle \angle B מול הצלע AC=6\displaystyle {AC}={6}, הקצרה מ-BC=8\displaystyle {BC}={8}, ולכן היא קטנה מ-∠A\displaystyle \angle A – זווית חדה.
  • ∠B=sin⁡−10.7048≈44.81∘\displaystyle {\angle B}={\sin^{-1}0.7048\approx44.81^{\circ}}.
תרגיל 1

במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: ∠A=50∘\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}, ∠B=65∘\displaystyle {\angle B}={65^{\circ}}, BC=12\displaystyle {BC}={12}.
עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א
חשבו את AC\displaystyle AC.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      המשולש ABC\displaystyle ABC חסום במעגל שרדיוסו 5\displaystyle 5.
      ∠C=36∘\displaystyle {\angle C}={36^{\circ}}.
      חשבו את AB\displaystyle AB, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: AB=9\displaystyle {AB}={9}, BC=7\displaystyle {BC}={7}, ∠C=80∘\displaystyle {\angle C}={80^{\circ}}.
        חשבו את ∠A\displaystyle \angle A, ועגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 4

          המשולש ABC\displaystyle ABC חסום במעגל שמרכזו O\displaystyle O.
          OM\displaystyle OM מאונך לצלע AB\displaystyle AB.
          הוכיחו: ∠AOM=∠ACB\displaystyle {\angle AOM}={\angle ACB}.

          תרגיל 5

          במשולש של תרגיל 4 נתון גם:
          המרחק של מרכז המעגל מהצלע AB\displaystyle AB הוא 8\displaystyle 8.
          AC=18\displaystyle {AC}={18}, ∠ACB=72∘\displaystyle {\angle ACB}={72^{\circ}}.
          עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

          א
          חשבו את רדיוס המעגל. (רמז: המשולש AOM\displaystyle AOM.)

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב
            חשבו את AB\displaystyle AB.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג
              חשבו את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד
                חשבו את BC\displaystyle BC.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ה
                  חשבו את היקף המשולש ABC\displaystyle ABC.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ו
                    חשבו את שטח המשולש ABC\displaystyle ABC.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה