מעגל וישר: המצב ההדדי

ישר ומעגל נפגשים בשתי נקודות, בנקודה אחת או באף נקודה:

• הישר חותך את המעגל בשתי נקודות – בשרטוט $\displaystyle {y}={1}$;
• הישר משיק למעגל – נוגע בו בנקודה אחת, נקודת ההשקה – בשרטוט $\displaystyle {y}={3}$;
• הישר אינו חותך את המעגל – אין להם נקודה משותפת – בשרטוט $\displaystyle {y}={4}$.

את המצב ההדדי קובעים בשתי דרכים: לפי המרחק של המרכז מהישר, או לפי מספר הפתרונות של מערכת משוואות.

משווים את הרדיוס $\displaystyle R$ למרחק $\displaystyle d$ של מרכז המעגל מהישר:

• $\displaystyle d<R$ – הישר חותך את המעגל;
• $\displaystyle {d}={R}$ – הישר משיק למעגל;
• $\displaystyle d>R$ – הישר אינו חותך את המעגל.

המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך ממנה לישר. מוצאים אותו בשלושה שלבים: משוואת האנך מהמרכז לישר, נקודת החיתוך של האנך עם הישר, והמרחק בין המרכז לנקודה הזו.

דוגמה: מרכז המעגל $\displaystyle K(3,1)$, הרדיוס $\displaystyle 5$, והישר $\displaystyle {y}={2x}$.

• שיפוע הישר $\displaystyle 2$, ולכן שיפוע האנך $\displaystyle -\frac{1}{2}$. האנך עובר דרך $\displaystyle K$: $\displaystyle {y-1}={-\frac{1}{2}(x-3)}$, כלומר $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+2.5}$.
• נקודת החיתוך: $\displaystyle {2x}={-\frac{1}{2}x+2.5}$, ולכן $\displaystyle {x}={1}$, $\displaystyle {y}={2}$. זו הנקודה $\displaystyle H(1,2)$.
• המרחק: $\displaystyle {KH}={\sqrt{(3-1)^{2}+(1-2)^{2}}}={\sqrt{5}\approx2.24}$.

$\displaystyle \sqrt{5}<5$, ולכן הישר חותך את המעגל.

נקודה משותפת לישר ולמעגל מקיימת את שתי המשוואות. לכן פותרים את מערכת המשוואות, ומספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך: שניים – חותך, אחד – משיק, אין – אינו חותך.

אותה דוגמה: $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y-1)^{2}}={25}$ ו-$\displaystyle {y}={2x}$. נציב $\displaystyle {y}={2x}$ במשוואת המעגל:

הפתרונות: $\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-1}$, ומ-$\displaystyle {y}={2x}$: הנקודות $\displaystyle (3,6)$ ו-$\displaystyle (-1,-2)$. שתי נקודות – הישר חותך את המעגל, כמו בדרך הראשונה.

מרכז המעגל $\displaystyle K(3,-2)$, והרדיוס $\displaystyle \sqrt{20}$.
הישר: $\displaystyle {y}={-2x+6}$.
קבעו את המצב ההדדי בין המעגל לישר לפי המרחק של המרכז מהישר.

כתבו את משוואת האנך מ-$\displaystyle K$ לישר, בשורה משלכם על הלוח.

מה המצב ההדדי בין המעגל לישר? נמקו.

מרכז המעגל $\displaystyle (3,-1)$, והרדיוס $\displaystyle 4$.
הישר: $\displaystyle {y}={-x+10}$.

מה המצב ההדדי בין המעגל לישר? נמקו לפי מספר הפתרונות.

המעגל: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={10}$.
הישר: $\displaystyle {y}={3x-10}$.

מה המצב ההדדי בין המעגל לישר? אם יש נקודות משותפות, כתבו אותן.

הישר $\displaystyle {y}={7}$ חותך את המעגל $\displaystyle {(x+1)^{2}+(y-3)^{2}}={25}$ בנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$.
מצאו את שיעורי הנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$.

מרכז המעגל $\displaystyle (2,-1)$, והרדיוס $\displaystyle 3$.
הישר: $\displaystyle {y}={2}$.

מה המצב ההדדי בין המעגל לישר? נמקו.