תרגול: המעגל, משוואת המעגל, מעגל וישר

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 5 מתוך 20תרגול

תרגול: המעגל, משוואת המעגל, מעגל וישר

$\displaystyle O$ מרכז המעגל, ו- $\displaystyle {\angle AOB}={96^{\circ}}$ .

כמה מעלות הקשת הקטנה

\displaystyle AB

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מעלות הקשת הגדולה

\displaystyle AB

מרכז המעגל $\displaystyle (-2,5)$ , והרדיוס $\displaystyle 4$ .
כתבו את משוואת המעגל.

המעגל: $\displaystyle {(x-7)^{2}+(y+3)^{2}}={50}$ .

מה מרכז המעגל?

מה הרדיוס? השאירו את התשובה עם שורש, בצורה הפשוטה ביותר.

$\displaystyle AB$ קוטר של מעגל: $\displaystyle A(-3,-2)$ ו- $\displaystyle B(5,4)$ .
כתבו את משוואת המעגל.

\displaystyle A=(-3,-2)

\displaystyle B=(5,4)

רדיוס המעגל $\displaystyle 10$ , והמרחק של המיתר $\displaystyle AB$ ממרכז המעגל $\displaystyle 6$ .
מה אורך המיתר?

המעגל: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={20}$ .
הנקודה: $\displaystyle P(4,-3)$ .

הציבו את

\displaystyle P

באגף השמאלי של המשוואה.

האם $\displaystyle P$ על המעגל, בתוכו או מחוצה לו? נמקו.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ והישר $\displaystyle {x+y}={7}$ .

הישר $\displaystyle {y}={x+8}$ חותך את המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}={25}$ בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .

חשבו את אורך המיתר

\displaystyle AB

. השאירו את התשובה עם שורש, בצורה הפשוטה ביותר.

$\displaystyle O$ מרכז המעגל.
$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle AC$ מיתרים שווים: $\displaystyle {AB}={AC}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle BAO}={\angle CAO}$ .

$\displaystyle O$ מרכז המעגל.
$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ מיתרים מקבילים: $\displaystyle AB\parallel CD$ .
$\displaystyle M$ אמצע המיתר $\displaystyle AB$ .
הוכיחו: $\displaystyle OM\perp CD$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$