משוואת המשיק ומעגל המשיק לצירים

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle A$ שעל המעגל מוצאים לפי תנאי הניצבות:

• מחשבים את השיפוע $\displaystyle m_1$ של הרדיוס, מהמרכז אל $\displaystyle A$.
• השיפוע של המשיק $\displaystyle m_2$ מקיים $\displaystyle {m_1\cdot m_2}={-1}$, כלומר $\displaystyle {m_2}={-\frac{1}{m_1}}$.
• כותבים את משוואת הישר שעובר דרך $\displaystyle A$ בשיפוע $\displaystyle m_2$, כמו בכיתה י':

הנקודה $\displaystyle A(3,4)$ על המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$, כי $\displaystyle {3^{2}+4^{2}}={25}$.
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle A$.

• המרכז הוא $\displaystyle O(0,0)$. השיפוע של הרדיוס $\displaystyle OA$: $\displaystyle {m_1}={\frac{4-0}{3-0}}={\frac{4}{3}}$.
• השיפוע של המשיק: $\displaystyle {m_2}={-\frac{3}{4}}$.
• הישר דרך $\displaystyle A(3,4)$:

כשהרדיוס מקביל לאחד הצירים, המשיק מקביל לציר השני – ואין צורך לחשב שיפוע.

• המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}={9}$: המרכז $\displaystyle M(2,-1)$, הרדיוס $\displaystyle 3$.
• הנקודה הגבוהה ביותר של המעגל היא $\displaystyle (2,2)$, והמשיק בה הוא $\displaystyle {y}={2}$.
• הנקודה הנמוכה ביותר היא $\displaystyle (2,-4)$, והמשיק בה הוא $\displaystyle {y}={-4}$.
• בנקודות $\displaystyle (5,-1)$ ו-$\displaystyle (-1,-1)$ המשיקים אנכיים: $\displaystyle {x}={5}$ ו-$\displaystyle {x}={-1}$.

ישר משיק למעגל אם ורק אם יש לו עם המעגל נקודה משותפת אחת. לכן למערכת של משוואת המעגל ומשוואת המשיק יש פתרון אחד בלבד.

בדוגמה שלמעלה נציב $\displaystyle {y}={-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}}$ במשוואה $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$, ונקבל אחרי כינוס:

• יש פתרון אחד, $\displaystyle {x}={3}$, ואז $\displaystyle {y}={4}$ – נקודת ההשקה $\displaystyle A(3,4)$.
• ישר שחותך את המעגל נותן שני פתרונות, וישר שאינו פוגש אותו – אף פתרון.

המרחק של המרכז $\displaystyle (a,b)$ מציר ה-$\displaystyle x$ הוא $\displaystyle |b|$, ומציר ה-$\displaystyle y$ הוא $\displaystyle |a|$. ציר משיק למעגל כשהמרחק של המרכז ממנו שווה לרדיוס:

• המעגל משיק לציר ה-$\displaystyle x$ כש-$\displaystyle {R}={|b|}$;
• המעגל משיק לציר ה-$\displaystyle y$ כש-$\displaystyle {R}={|a|}$;
• המעגל משיק לשני הצירים כש-$\displaystyle {|a|}={|b|}={R}$.

• המעגל $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}={4}$: המרכז $\displaystyle (3,-2)$, הרדיוס $\displaystyle {2}={|-2|}$ – הוא משיק לציר ה-$\displaystyle x$ בנקודה $\displaystyle (3,0)$, ואינו פוגש את ציר ה-$\displaystyle y$.
• המעגל $\displaystyle {(x+4)^{2}+(y-4)^{2}}={16}$: המרכז $\displaystyle (-4,4)$, הרדיוס $\displaystyle 4$ – הוא משיק לשני הצירים, ברביע השני.

הנקודה $\displaystyle A(-4,3)$ על המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$.
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle A$.

הנקודה $\displaystyle A(4,6)$ על המעגל $\displaystyle {(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}={25}$.
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle A$.

נתונים המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={2}$ והישר $\displaystyle {y}={x+2}$.
פתרו את המערכת, וקבעו: האם הישר משיק למעגל?

האם הישר משיק למעגל? אם כן – מהי נקודת ההשקה?

מרכז המעגל הוא $\displaystyle C(-3,5)$, והמעגל משיק לציר ה-$\displaystyle x$.
מצאו את משוואת המעגל.

מעגל שהרדיוס שלו $\displaystyle 3$ משיק לשני הצירים, והמרכז שלו ברביע הרביעי.
מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה $\displaystyle C(5,2)$ על המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}={10}$.
$\displaystyle CD$ קוטר במעגל.

מצאו את השיעורים של הנקודה $\displaystyle D$.

מצאו את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle C$ ואת משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle D$.

מה המצב ההדדי של שני המשיקים? נמקו.