משיק למעגל

גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 15 מתוך 20לימוד

משיק למעגל

הגדרת המשיק

משיק למעגל הוא ישר שיש לו עם המעגל נקודה משותפת אחת בלבד. הנקודה הזאת היא נקודת ההשקה.

בשרטוט, הישר $\displaystyle PQ$ משיק למעגל, ונקודת ההשקה היא $\displaystyle A$ .
הישר $\displaystyle CD$ חותך את המעגל בשתי נקודות, ולכן אינו משיק.
כל נקודה אחרת של המשיק נמצאת מחוץ למעגל.

משיק ורדיוס

הקטע הקצר ביותר מנקודה לישר הוא האנך מהנקודה לישר (משפט פיתגורס: כל קטע אחר הוא יתר, והוא ארוך מהניצב).

משפט: משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

כל נקודה של המשיק, חוץ מ- $\displaystyle A$ , מחוץ למעגל – ולכן רחוקה מ- $\displaystyle O$ יותר מהרדיוס.
לכן $\displaystyle OA$ הוא הקטע הקצר ביותר מ- $\displaystyle O$ אל המשיק.
הקטע הקצר ביותר מנקודה לישר הוא האנך – ולכן $\displaystyle OA$ מאונך למשיק.

משפט (ההפוך): ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

שני משיקים מנקודה אחת

משפט: אם מנקודה מחוץ למעגל עוברים שני משיקים למעגל, אז קטעי המשיקים – מהנקודה עד נקודות ההשקה – שווים באורכם.

נתון: $\displaystyle PA$ ו- $\displaystyle PB$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {PA}={PB}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את $\displaystyle OP$ , ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle OAP$ ו- $\displaystyle OBP$ חופפים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {OA}={OB}$	רדיוסים במעגל
2	$\displaystyle {\angle OAP}={\angle OBP}={90^{\circ}}$	משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
3	$\displaystyle {OP}={OP}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle OAP\cong\triangle OBP$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.צ.ז (הזווית הישרה מול הצלע הגדולה)
5	$\displaystyle {PA}={PB}$	(4); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות

עוד שתי תכונות של משיקים

משפט: הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים חוצה את הזווית שבין המשיקים. את ההוכחה תכתבו בעצמכם, בתרגיל 2.
משפט: אם שני משיקים למעגל מקבילים זה לזה, אז הקטע המחבר את נקודות ההשקה הוא קוטר במעגל. את ההוכחה תכתבו בעצמכם, בתרגיל 4.

דוגמה: אורך קטע המשיק

הרדיוס של מעגל הוא $\displaystyle 5$ , והמרחק של הנקודה $\displaystyle P$ ממרכז המעגל $\displaystyle O$ הוא $\displaystyle 13$ .
$\displaystyle PA$ משיק למעגל בנקודה $\displaystyle A$ . מה אורך $\displaystyle PA$ ?

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן המשולש $\displaystyle OAP$ ישר זווית, ו- $\displaystyle OP$ הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

PA=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12

תרגיל 1

$\displaystyle PA$ משיק למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודה $\displaystyle A$ .
הרדיוס של המעגל הוא $\displaystyle 6$ , ו- $\displaystyle {OP}={10}$ .

חשבו את אורך קטע המשיק

\displaystyle PA

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את

\displaystyle \angle APO

, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 2

$\displaystyle PA$ ו- $\displaystyle PB$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle APO}={\angle BPO}$ .

תרגיל 3

$\displaystyle PA$ ו- $\displaystyle PB$ משיקים למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ , בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .
$\displaystyle {\angle APB}={50^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle \angle AOB$ .

תרגיל 4

הישר $\displaystyle AP$ משיק למעגל שמרכזו $\displaystyle O$ בנקודה $\displaystyle A$ , והישר $\displaystyle BQ$ משיק לו בנקודה $\displaystyle B$ .
$\displaystyle AP\parallel BQ$ .
הוכיחו: $\displaystyle {\angle AOB}={180^{\circ}}$ , כלומר $\displaystyle AB$ קוטר.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$