סדרה חשבונית וסדרה הנדסית יחד

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20לימוד

סדרה חשבונית וסדרה הנדסית יחד

דוגמה: מסדרה חשבונית להנדסית

שלושה מספרים הם סדרה חשבונית, וסכומם 15.
מוסיפים 1 למספר הראשון, 1 לשני ו-4 לשלישי, ומקבלים סדרה הנדסית.
מהם המספרים?

בפתרון שלפניכם נכתוב את המספרים סביב האמצעי, ונשתמש בממוצע ההנדסי:

המספרים: $\displaystyle 5-d$ , $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 5+d$ – האמצעי הוא הממוצע, $\displaystyle {\frac{15}{3}}={5}$ .
אחרי ההוספה: $\displaystyle 6-d$ , $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 9+d$ , ולכן $\displaystyle {36}={(6-d)(9+d)}$ .
$\displaystyle {d^2+3d-18}={0}$ , ולכן $\displaystyle {d}={3}$ או $\displaystyle {d}={-6}$ .
$\displaystyle {d}={3}$ : המספרים $\displaystyle 2, 5, 8$ , והסדרה ההנדסית $\displaystyle 3, 6, 12$ .
$\displaystyle {d}={-6}$ : המספרים $\displaystyle 11, 5, -1$ , והסדרה ההנדסית $\displaystyle 12, 6, 3$ .

דוגמה: ריצה הלוך וחזור

דנה יוצאת מביתה לריצה.
בדקה הראשונה היא עוברת 80 מטר, ובכל דקה נוספת מרחק גדול פי 1.02 מהמרחק בדקה שלפניה.
אחרי 20 דקות היא מסתובבת וחוזרת באותה דרך.
בדרך חזרה היא עוברת בדקה הראשונה 100 מטר, ובכל דקה נוספת 5 מטר יותר מבדקה שלפניה.
האם תגיע הביתה תוך 10 דקות?

הלוך – סדרה הנדסית: $\displaystyle {S_{20}}={\frac{80(1.02^{20}-1)}{1.02-1}\approx1943.8}$ מטר.
חזור – סדרה חשבונית: ב-10 דקות $\displaystyle {S_{10}}={\frac{10(2\cdot100+9\cdot5)}{2}}={1225}$ מטר.
$\displaystyle 1225<1943.8$ : ב-10 דקות דנה לא תגיע הביתה.

תרגיל 1

שתי תוכניות חיסכון, ובשתיהן מפקידים 1,000 ₪ בחודש הראשון:

בתוכנית א’ מפקידים בכל חודש 100 ₪ יותר מבחודש שלפניו.
בתוכנית ב’ מפקידים בכל חודש פי 1.05 מבחודש שלפניו.

כמה מפקידים בתוכנית א’ ב-12 חודשים?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מפקידים בתוכנית ב’ ב-12 חודשים? עגלו לשקלים.

באיזו תוכנית מפקידים יותר ב-48 חודשים? חשבו והסבירו.

תוכנית א'

תוכנית ב'

תרגיל 2

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={2}$ ו- $\displaystyle d\neq0$ .
האיבר הראשון, השני והרביעי שלה (בסדר הזה) הם סדרה הנדסית.
מצאו את $\displaystyle d$ .

\displaystyle d

תרגיל 3

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$
האיבר הראשון של סדרה חשבונית שווה לאיבר הראשון של הסדרה ההנדסית, והאיבר השלישי שלה שווה לאיבר השלישי של ההנדסית.
חשבו את האיבר העשירי של הסדרה החשבונית.

תרגיל 4

שלושה מספרים הם סדרה חשבונית, וסכומם 24.
מוסיפים 2 למספר הראשון ו-2 לשלישי, ומקבלים סדרה הנדסית.
מצאו את המספרים.

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$