דלג לתוכן

סדרה חשבונית

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20לימוד

סדרה חשבונית

הפרש קבוע

סדרה חשבונית היא סדרה שבה כל איבר שווה לאיבר שלפניו ועוד מספר קבוע, d\displaystyle d – הפרש הסדרה:

an+1=an+d\displaystyle a_{n+1}=a_n+d
  • 12,14,16,18,…\displaystyle 12, 14, 16, 18, \ldots – d=2\displaystyle {d}={2};
  • 30,25,20,15,…\displaystyle 30, 25, 20, 15, \ldots – d=−5\displaystyle {d}={-5}: ההפרש שלילי, והאיברים קטנים;
  • 7,7,7,…\displaystyle 7, 7, 7, \ldots – d=0\displaystyle {d}={0}.

את d\displaystyle d מוצאים מכל שני איברים סמוכים: d=an+1−an\displaystyle {d}={a_{n+1}-a_n}.

ארבעה ייצוגים של סדרה חשבונית

באולם קולנוע יש 12 כיסאות בשורה הראשונה, ובכל שורה יש 2 כיסאות יותר מאשר בשורה שלפניה.

  • בטבלה:
n\displaystyle n12345
an\displaystyle a_n1214161820
  • בכלל נסיגה: a1=12\displaystyle {a_1}={12}, an+1=an+2\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+2}.
  • בגרף – הנקודות (n,an)\displaystyle (n, a_n):
(1,12)\displaystyle (1,12)
(2,14)\displaystyle (2,14)
(3,16)\displaystyle (3,16)
(4,18)\displaystyle (4,18)
(5,20)\displaystyle (5,20)
y=2x+10\displaystyle y=2x+10

הנקודות נמצאות על ישר (המקווקו): בכל צעד ימינה n\displaystyle n גדל ב-1, והאיבר עולה ב-d=2\displaystyle {d}={2}. הגרף של סדרה חשבונית הוא נקודות על ישר ששיפועו d\displaystyle d – גרף בדיד של פונקציה קווית.

האיבר הכללי

מ-a1\displaystyle a_1 ל-an\displaystyle a_n מוסיפים את d\displaystyle d פעמים n−1\displaystyle n-1:

  • a2=a1+d\displaystyle {a_2}={a_1+d};
  • a3=a1+2d\displaystyle {a_3}={a_1+2d};
  • a4=a1+3d\displaystyle {a_4}={a_1+3d}.

וכך לכל מקום:

an\displaystyle a_n =\displaystyle = a1+(n−1)d\displaystyle a_1+(n-1)d

באולם: בשורה ה-30 יש a30=12+29⋅2=70\displaystyle {a_{30}}={12+29\cdot2}={70} כיסאות.

סדרה עולה, יורדת, קבועה

הסימן של d\displaystyle d קובע איך הסדרה מתנהגת:

  • d>0\displaystyle d>0 – הסדרה עולה: כל איבר גדול מזה שלפניו;
  • d<0\displaystyle d<0 – הסדרה יורדת: כל איבר קטן מזה שלפניו;
  • d=0\displaystyle {d}={0} – הסדרה קבועה.
תרגיל 1

אילו מהסדרות חשבוניות? לסדרה חשבונית, כתבו את d\displaystyle d.

  • 4,9,14,19,…\displaystyle 4, 9, 14, 19, \ldots
  • 2,4,8,16,…\displaystyle 2, 4, 8, 16, \ldots
  • 10,6.5,3,−0.5,…\displaystyle 10, 6.5, 3, -0.5, \ldots
תרגיל 2

הסדרה החשבונית: 7,11,15,…\displaystyle 7, 11, 15, \ldots
חשבו:

א
a25\displaystyle a_{25}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    a100\displaystyle a_{100}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      בגרף – חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית.

      א

      כתבו על הלוח פונקציה שהגרף שלה עובר דרך כל הנקודות.

      (1,5)\displaystyle (1,5)
      (2,8)\displaystyle (2,8)
      (3,11)\displaystyle (3,11)
      (4,14)\displaystyle (4,14)
      (5,17)\displaystyle (5,17)

      ב

      מה השיפוע של הישר, ומה ההפרש של הסדרה?

      השיפוע

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        d\displaystyle d

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 4

          בסדרה חשבונית a1=40\displaystyle {a_1}={40} ו-d=−3\displaystyle {d}={-3}.

          א

          חשבו את a15\displaystyle a_{15}.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            האם הסדרה עולה או יורדת? הסבירו.