תת־סדרות של סדרה חשבונית

תת־סדרה היא סדרה שבונים מחלק מהאיברים של סדרה, בסדר שלהם. בסדרה $\displaystyle 5, 8, 11, 14, 17, 20, \ldots$ ($\displaystyle {d}={3}$):

• האיברים במקומות האי־זוגיים, $\displaystyle a_1, a_3, a_5, \ldots$: $\displaystyle 5, 11, 17, \ldots$ – בין כל שניים יש שני צעדים של $\displaystyle d$, ולכן זו סדרה חשבונית שההפרש שלה $\displaystyle {2d}={6}$.
• האיברים במקומות הזוגיים, $\displaystyle a_2, a_4, a_6, \ldots$: $\displaystyle 8, 14, 20, \ldots$ – גם היא חשבונית, עם הפרש $\displaystyle {2d}={6}$.
• כל איבר שלישי, $\displaystyle a_1, a_4, a_7, \ldots$: הפרש $\displaystyle 3d$.

• בסדרה של 40 איברים: 20 איברים במקומות הזוגיים ($\displaystyle a_2, a_4, \ldots, a_{40}$), ו-20 במקומות האי־זוגיים.
• בסדרה של 41 איברים: 21 במקומות האי־זוגיים ($\displaystyle a_1, a_3, \ldots, a_{41}$), ו-20 במקומות הזוגיים.

באולם 16 שורות.
בשורה הראשונה 10 כיסאות, ובכל שורה 2 כיסאות יותר מבשורה שלפניה.
כמה כיסאות יש בשורות הזוגיות?

• השורות הזוגיות הן 8 שורות: בראשונה שבהן $\displaystyle {a_2}={12}$ כיסאות, וההפרש $\displaystyle {2\cdot2}={4}$.
• $\displaystyle {S}={\frac{8(2\cdot12+7\cdot4)}{2}}={\frac{8\cdot52}{2}}={208}$ כיסאות.

• הופכים את הסימן של כל האיברים: $\displaystyle 86, 82, \ldots, -70$ הופכת ל-$\displaystyle -86, -82, \ldots, 70$ – סדרה חשבונית עם הפרש $\displaystyle -d$, והסכום שלה הוא מינוס הסכום של המקורית.
• מוסיפים לכל איבר אותו מספר: ההפרש לא משתנה.
• כופלים כל איבר במספר $\displaystyle k$: ההפרש נכפל ב-$\displaystyle k$.

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={4}$, $\displaystyle {d}={5}$, ויש בה 80 איברים.
סכום 20 האיברים האחרונים הוא הסכום של כולם פחות הסכום של 60 הראשונים, $\displaystyle S_{80}-S_{60}$:

• $\displaystyle {S_{80}}={\frac{80(8+79\cdot5)}{2}}={16120}$, ו-$\displaystyle {S_{60}}={\frac{60(8+59\cdot5)}{2}}={9090}$.
• $\displaystyle {S_{80}-S_{60}}={7030}$.

אותו סכום נותנת גם תת־הסדרה $\displaystyle a_{61}, \ldots, a_{80}$: $\displaystyle {\frac{20(304+399)}{2}}={7030}$.

בסדרה החשבונית $\displaystyle 3, 7, 11, \ldots$ יש 40 איברים.

כמה איברים יש במקומות הזוגיים, ומהו ההפרש ביניהם?

חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={2}$, $\displaystyle {d}={3}$, ויש בה 29 איברים.
חשבו את סכום האיברים במקומות האי־זוגיים.

בסדרה החשבונית $\displaystyle 50, 47, 44, \ldots$ יש 30 איברים.
חשבו את סכום 10 האיברים האחרונים.

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 86, 82, 78, \ldots, -70$ (40 איברים).
הופכים את הסימן של כל האיברים, ומקבלים סדרה חדשה.
חשבו את סכום הסדרה החדשה.