סכום של סדרה חשבונית

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

סכום של סדרה חשבונית

חיבור בזוגות

את הסכום $\displaystyle 1+2+3+\ldots+100$ נכתוב פעמיים – פעם מההתחלה ופעם מהסוף – ונחבר עמודה עמודה:

\begin{aligned}S&=1+2+\ldots+99+100\\S&=100+99+\ldots+2+1\end{aligned}

בכל עמודה הסכום הוא 101, ויש 100 עמודות: $\displaystyle {2S}={100\cdot101}$ .
$\displaystyle {S}={\frac{100\cdot101}{2}}={5050}$ .

הסכום

\displaystyle S_n

$\displaystyle S_n$ הוא סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים: $\displaystyle {S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}$ .
בסדרה חשבונית כל עמודה, כמו ב-1 עד 100, היא $\displaystyle a_1+a_n$ : צעד אחד פנימה מוסיף $\displaystyle d$ מצד אחד ומחסיר $\displaystyle d$ מהצד השני. יש $\displaystyle n$ עמודות, ולכן:

\displaystyle S_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}

נציב $\displaystyle {a_n}={a_1+(n-1)d}$ , ונקבל נוסחה שאין בה את האיבר האחרון:

\displaystyle S_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}

דוגמה: כיסאות באולם

באולם 20 שורות.
בשורה הראשונה 12 כיסאות, ובכל שורה 2 כיסאות יותר מבשורה שלפניה.
כמה כיסאות יש באולם?

$\displaystyle {a_{20}}={12+19\cdot2}={50}$ .
$\displaystyle {S_{20}}={\frac{20(12+50)}{2}}={620}$ כיסאות.
או, בלי $\displaystyle a_{20}$ : $\displaystyle {S_{20}}={\frac{20(2\cdot12+19\cdot2)}{2}}={\frac{20\cdot62}{2}}={620}$ .

מציאת

\displaystyle n

מהסכום

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={4}$ ו- $\displaystyle {d}={5}$ .
כמה איברים צריך לחבר, מהראשון, כדי שהסכום יהיה 9,090?

\frac{n(2\cdot4+(n-1)\cdot5)}{2}=9090

$\displaystyle {n(5n+3)}={18180}$ , כלומר $\displaystyle {5n^2+3n-18180}={0}$ .
בנוסחת השורשים: $\displaystyle {n}={60}$ או $\displaystyle {n}={-60.6}$ .
מספר האיברים הוא מספר טבעי, ולכן $\displaystyle {n}={60}$ .

תרגיל 1

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 5, 9, 13, \ldots$
חשבו את סכום 30 האיברים הראשונים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הסכום: $\displaystyle 3+7+11+\ldots+199$ .

כמה מחוברים יש בסכום?

חשבו את הסכום.

תרגיל 3

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 2, 5, 8, \ldots$
כמה איברים צריך לחבר, מהראשון, כדי שהסכום יהיה 155?

תרגיל 4

בתרשים – מספר הכיסאות בחמש השורות הראשונות של אולם קולנוע.
ההפרש בין מספרי הכיסאות בשורות סמוכות נשאר קבוע.
באולם 400 מקומות ישיבה.
כמה שורות יש באולם?

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$