בעיות בסדרה חשבונית

דוגמה: חיסכון

נועה חוסכת: בחודש הראשון 50 ₪, ובכל חודש 10 ₪ יותר מבחודש שלפניו.
כמה תחסוך בשנה?

הסכומים החודשיים הם סדרה חשבונית: $\displaystyle {a_1}={50}$ , $\displaystyle {d}={10}$ , $\displaystyle {n}={12}$ .
$\displaystyle {S_{12}}={\frac{12(2\cdot50+11\cdot10)}{2}}={\frac{12\cdot210}{2}}={1260}$ ₪.

סדרה בבעיה מילולית

בכל בעיה כזאת שלוש שאלות קובעות מה לחשב:

מה הם האיברים: כיסאות בשורה, תשלום בחודש, מרחק ביום;
מה נתון: $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle d$ , מספר האיברים, איבר מסוים או סכום;
מה שואלים: איבר ( $\displaystyle a_n$ ), מקום ( $\displaystyle n$ ) או סכום ( $\displaystyle S_n$ ).

דוגמה: תוכנית אימון

דנה רצה ביום הראשון 2 ק"מ, ובכל יום 0.5 ק"מ יותר מביום שלפניו.
באיזה יום תרוץ 10 ק"מ?

המרחקים: $\displaystyle {a_1}={2}$ , $\displaystyle {d}={0.5}$ ; שואלים על המקום של האיבר 10.
$\displaystyle {2+(n-1)\cdot0.5}={10}$ , ולכן $\displaystyle {(n-1)\cdot0.5}={8}$ , ו- $\displaystyle {n-1}={16}$ .
ביום ה-17.

תרגיל 1

בערימת צינורות יש בשורה התחתונה 20 צינורות.
בכל שורה מעליה יש צינור אחד פחות, ובשורה העליונה צינור אחד.
כמה צינורות יש בערימה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הלוואה מוחזרת ב-12 תשלומים חודשיים, שהם סדרה חשבונית.
התשלום הראשון 500 ₪, והאחרון 830 ₪.

כמה הוחזר בסך הכול?

בכמה שקלים גדל התשלום בכל חודש?

תרגיל 3

שחקן כדורסל מתאמן בקליעות לסל.
ביום הראשון הוא קולע 40 פעמים, ובכל יום 5 פעמים יותר מביום שלפניו.

באיזה יום יקלע 135 פעמים?

אחרי כמה ימים יגיע מספר הקליעות הכולל ל-1,125?

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$