האיבר הראשון, ההפרש והממוצע החשבוני

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

האיבר הראשון, ההפרש והממוצע החשבוני

שני איברים נתונים

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_4}={17}$ ו- $\displaystyle {a_9}={32}$ .
בפתרון שלפניכם נכתוב כל איבר בעזרת $\displaystyle a_1$ ו- $\displaystyle d$ , ונפתור מערכת של שתי משוואות:

\begin{cases}a_1+3d=17\\a_1+8d=32\end{cases}

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה: $\displaystyle {5d}={15}$ , ולכן $\displaystyle {d}={3}$ .
נציב בראשונה: $\displaystyle {a_1+9}={17}$ , ולכן $\displaystyle {a_1}={8}$ .
הסדרה: $\displaystyle 8, 11, 14, 17, \ldots$ – ואכן $\displaystyle {a_9}={8+8\cdot3}={32}$ .

צעדים של

\displaystyle d

מ- $\displaystyle a_4$ ל- $\displaystyle a_9$ יש 5 צעדים של $\displaystyle d$ , ולכן $\displaystyle {a_9-a_4}={5d}$ : $\displaystyle {32-17}={15}={5d}$ , ו- $\displaystyle {d}={3}$ בלי מערכת.
באופן כללי, בין $\displaystyle a_k$ ל- $\displaystyle a_m$ יש $\displaystyle m-k$ צעדים: $\displaystyle {a_m-a_k}={(m-k)d}$ .

הממוצע החשבוני

בסדרה חשבונית כל איבר הוא הממוצע החשבוני של שני האיברים שמשני צדדיו – ומכאן השם “סדרה חשבונית”:

\displaystyle a_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

\displaystyle n\geq2

הסיבה: $\displaystyle {a_{n-1}}={a_n-d}$ ו- $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+d}$ , ולכן $\displaystyle {a_{n-1}+a_{n+1}}={2a_n}$ .
למשל, בסדרה $\displaystyle 8, 11, 14$ : $\displaystyle {\frac{8+14}{2}}={11}$ .

דוגמה: שלושה איברים סמוכים

המספרים $\displaystyle x-1$ , $\displaystyle 2x+1$ , $\displaystyle 4x-3$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית.
האיבר האמצעי הוא הממוצע של שני האחרים, ולכן $\displaystyle {2(2x+1)}={(x-1)+(4x-3)}$ :

$\displaystyle {4x+2}={5x-4}$ , ולכן $\displaystyle {x}={6}$ .
המספרים: $\displaystyle 5, 13, 21$ – ההפרש 8.

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_3}={11}$ ו- $\displaystyle {a_8}={26}$ .

מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ : כתבו מערכת משוואות ופתרו אותה.

חשבו את $\displaystyle a_{20}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

בסדרה חשבונית, סכום האיבר הראשון והאיבר השלישי הוא 20.
האיבר החמישי הוא 22.

מצאו את $\displaystyle a_1$ ואת $\displaystyle d$ .

חשבו את $\displaystyle a_{10}$ .

תרגיל 3

המספרים $\displaystyle x+2$ , $\displaystyle 3x$ , $\displaystyle 4x+1$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית.

מצאו את $\displaystyle x$ .

כתבו את שלושת המספרים ואת ההפרש.

תרגיל 4

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה:

\begin{cases}a_1=12\\a_{n+1}=3a_n-2\end{cases}

חשבו את $\displaystyle a_2$ ואת $\displaystyle a_3$ .

\displaystyle a_2

\displaystyle a_3

המספרים $\displaystyle a_1-2$ , $\displaystyle a_2-4$ , $\displaystyle a_3-x$ הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית.
מצאו את $\displaystyle x$ .

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$