סדרה הנדסית

סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר שווה לאיבר שלפניו כפול מספר קבוע, $\displaystyle q$ – מנת הסדרה:

• $\displaystyle 3, 6, 12, 24, \ldots$ – $\displaystyle {q}={2}$;
• $\displaystyle 80, 40, 20, 10, \ldots$ – $\displaystyle {q}={\frac{1}{2}}$;
• $\displaystyle 2, -6, 18, -54, \ldots$ – $\displaystyle {q}={-3}$.

את $\displaystyle q$ מוצאים מכל שני איברים סמוכים: $\displaystyle {q}={\frac{a_{n+1}}{a_n}}$. בסדרה הנדסית $\displaystyle a_1\neq0$ ו-$\displaystyle q\neq0$, ולכן אף איבר אינו 0.

ביום הראשון קיבל סרטון 5 צפיות, ובכל יום מספר הצפיות היה פי 2 מאשר ביום שלפניו.

• בטבלה:

• בכלל נסיגה: $\displaystyle {a_1}={5}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={2a_n}$.
• בגרף – הנקודות $\displaystyle (n, a_n)$:

הנקודות אינן על ישר: בכל צעד ימינה האיבר גדל פי 2, ולכן כל עלייה גדולה מזו שלפניה. הגרף של סדרה הנדסית הוא נקודות על הגרף של פונקציה מעריכית (המקווקו) – גרף בדיד.

מ-$\displaystyle a_1$ ל-$\displaystyle a_n$ כופלים ב-$\displaystyle q$ פעמים $\displaystyle n-1$: $\displaystyle {a_2}={a_1q}$, $\displaystyle {a_3}={a_1q^2}$, $\displaystyle {a_4}={a_1q^3}$, וכך לכל מקום:

בדוגמה: ביום העשירי $\displaystyle {a_{10}}={5\cdot2^9}={2560}$ צפיות.

הסימן של $\displaystyle q$ והגודל שלו קובעים איך הסדרה מתנהגת:

• $\displaystyle q<0$: הסימנים מתחלפים – חיובי, שלילי, חיובי… – והסדרה לא עולה ולא יורדת: $\displaystyle 2, -6, 18, -54, \ldots$
• $\displaystyle q>0$: לכל האיברים אותו סימן כמו ל-$\displaystyle a_1$.
• $\displaystyle a_1>0$: עם $\displaystyle q>1$ הסדרה עולה ($\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$), ועם $\displaystyle 0<q<1$ יורדת ($\displaystyle 80, 40, 20, \ldots$).
• $\displaystyle a_1<0$: להפך – עם $\displaystyle q>1$ יורדת ($\displaystyle -3, -6, -12, \ldots$), ועם $\displaystyle 0<q<1$ עולה ($\displaystyle -80, -40, -20, \ldots$).
• $\displaystyle {q}={1}$: הסדרה קבועה.

אילו מהסדרות הנדסיות? לסדרה הנדסית, כתבו את $\displaystyle q$.

• $\displaystyle 5, 15, 45, 135, \ldots$
• $\displaystyle 64, 16, 4, 1, \ldots$
• $\displaystyle 1, 4, 9, 16, \ldots$
• $\displaystyle 3, -6, 12, -24, \ldots$

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 5, 10, 20, \ldots$
חשבו את $\displaystyle a_8$.

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 486, 162, 54, \ldots$
חשבו את $\displaystyle a_7$.

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 2, -6, 18, \ldots$

חשבו את $\displaystyle a_6$.

האם $\displaystyle a_{21}$ חיובי או שלילי? הסבירו.