סכום של סדרה הנדסית

הנוסחה לסכום

כדי לחבר $\displaystyle {S_n}={a_1+a_1q+\ldots+a_1q^{n-1}}$ , נכפול את כל הסכום ב- $\displaystyle q$ : כל איבר עובר למקום הבא.

\begin{aligned}qS_n&=a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n}\\S_n&=a_1+a_1q+\ldots+a_1q^{n-1}\end{aligned}

\displaystyle S_n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}

\displaystyle q\neq1

כש- $\displaystyle {q}={1}$ כל האיברים שווים, ו- $\displaystyle {S_n}={n\cdot a_1}$ .

דוגמה: גרגרי אורז

על המשבצת הראשונה של לוח מניחים גרגר אורז אחד, על השנייה 2, על השלישית 4 – על כל משבצת פי 2 מעל המשבצת שלפניה.
כמה גרגרים יש על 10 המשבצות הראשונות?

$\displaystyle {a_1}={1}$ , $\displaystyle {q}={2}$ , $\displaystyle {n}={10}$ .
$\displaystyle {S_{10}}={\frac{1\cdot(2^{10}-1)}{2-1}}={1023}$ .

מנה שלילית

הנוסחה נכונה גם כש- $\displaystyle q$ שלילי. בסדרה $\displaystyle 2, -6, 18, \ldots$ ( $\displaystyle {q}={-3}$ ):

S_5=\frac{2((-3)^5-1)}{-3-1}=\frac{2\cdot(-244)}{-4}=122

בדיקה: $\displaystyle {2-6+18-54+162}={122}$ .

תת־סדרות של סדרה הנדסית

האיברים במקומות האי־זוגיים, $\displaystyle a_1, a_3, a_5, \ldots$ : בין כל שניים כופלים ב- $\displaystyle q$ פעמיים – סדרה הנדסית שהמנה שלה $\displaystyle q^2$ . כך גם במקומות הזוגיים, ו- $\displaystyle a_2$ ראשון בה.
הופכים את הסימן של האיברים במקומות הזוגיים: $\displaystyle 2, 6, 18, 54, \ldots$ הופכת ל- $\displaystyle 2, -6, 18, -54, \ldots$ – סדרה הנדסית שהמנה שלה $\displaystyle -q$ .

תרגיל 1

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$
חשבו את סכום 8 האיברים הראשונים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 1, -2, 4, \ldots$
חשבו את $\displaystyle S_9$ .

תרגיל 3

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 162, 54, 18, \ldots$
חשבו את סכום 5 האיברים הראשונים.

תרגיל 4

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_1}={5}$ , $\displaystyle {q}={2}$ , ויש בה 10 איברים.
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

תרגיל 5

הסדרה: $\displaystyle {b_n}={2\cdot3^{n-1}}$ .

הביעו בעזרת $\displaystyle n$ את הסכום $\displaystyle {S_n}={2+6+18+\ldots+2\cdot3^{n-1}}$ , ופשטו.

מהסדרה $\displaystyle b_n$ יוצרים סדרה חדשה: הופכים את הסימן של האיברים במקומות הזוגיים.
מצאו את סכום 36 האיברים הראשונים בסדרה החדשה.

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$