בעיות בסדרה הנדסית

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

בעיות בסדרה הנדסית

דוגמה: צופים בסרטון

סרטון הועלה לאתר העירייה ביום ראשון.
בכל יום מספר הצופים בו היה פי מספר קבוע ממספר הצופים ביום שלפניו.
ביום רביעי מספר הצופים היה פי 8 ממספר הצופים ביום ראשון.
ביום שישי היו 480 צופים יותר מביום חמישי.

מספרי הצופים הם סדרה הנדסית; יום ראשון הוא $\displaystyle a_1$ , ויום רביעי $\displaystyle a_4$ .
$\displaystyle {\frac{a_4}{a_1}}={q^3}={8}$ , ולכן $\displaystyle {q}={2}$ : מספר הצופים גדל פי 2 בכל יום.
$\displaystyle {a_6-a_5}={a_1\cdot2^5-a_1\cdot2^4}={16a_1}={480}$ , ולכן ביום ראשון היו $\displaystyle {a_1}={30}$ צופים.
בשבעת הימים: $\displaystyle {S_7}={\frac{30(2^7-1)}{2-1}}={3810}$ צופים.

תרגיל 1

העירייה נותנת לכל צופה בסרטון קופון הנחה בשווי 50 ₪.

כמה עלו לעירייה הקופונים של שבעת הימים הראשונים?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

התקציב של העירייה לכל הקופונים, מהיום הראשון, הוא 766,500 ₪, והצופים ממשיכים לגדול פי 2 בכל יום.
לכמה ימים נוספים, אחרי שבעת הימים הראשונים, יספיק התקציב?

תרגיל 2

מכל מים מתמלא ב-5 שעות.
היחס בין כמות המים שזורמת למכל בכל שעה לכמות שזרמה בשעה שלפניה הוא $\displaystyle q$ .
בשעתיים הראשונות זרמו למכל 48 מ"ק.
בארבע השעות הראשונות זרמה למכל כמות גדולה פי 2 מהכמות שזרמה בארבע השעות האחרונות.

מצאו את $\displaystyle q$ .

\displaystyle q

מצאו את נפח המכל.

תרגיל 3

המשכורת השנתית של עובדת בשנה הראשונה היא 96,000 ₪.
בכל שנה המשכורת עולה ב-5%.

מה תהיה המשכורת השנתית שלה בשנה השישית? עגלו לשקלים.

כמה תרוויח בסך הכול ב-10 השנים הראשונות? עגלו לשקלים.

תרגיל 4

דנה שולחת הודעה ל-3 חברים.
כל מי שמקבל את ההודעה שולח אותה ל-3 חברים חדשים, וכך הלאה, בסבבים.
בסבב הראשון שלחה דנה, ובכל סבב שולחים רק מי שקיבלו את ההודעה בסבב שלפניו.
אחרי כמה סבבים קיבלו את ההודעה בסך הכול 1,092 אנשים?

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$