סכום של סדרה הנדסית אינסופית

סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

סכום של סדרה הנדסית אינסופית

סכום שמתקרב למספר

מחברים עוד ועוד איברים של הסדרה $\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$ :

$\displaystyle {S_1}={1}$ , $\displaystyle {S_2}={1.5}$ , $\displaystyle {S_3}={1.75}$ , $\displaystyle {S_4}={1.875}$ , …
כל איבר חדש הוא חצי ממה שחסר עד 2, ולכן הסכום מתקרב ל-2 ואינו עובר אותו.

בגרף – הסכומים $\displaystyle S_n$ והישר $\displaystyle {y}={2}$ (המקווקו):

\displaystyle (1,1)

\displaystyle (2,1.5)

\displaystyle (3,1.75)

\displaystyle (4,1.875)

\displaystyle (5,1.9375)

\displaystyle (6,1.96875)

\displaystyle y=2

2 הוא הסכום של הסדרה ההנדסית האינסופית $\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots$

הנוסחה לסכום אינסופי

כש- $\displaystyle -1<q<1$ , החזקה $\displaystyle q^n$ קטנה מאוד כש- $\displaystyle n$ גדל: $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{10}<0.001$ . לכן $\displaystyle {S_n}={\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}}$ מתקרב ל- $\displaystyle \frac{a_1(0-1)}{q-1}$ :

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a_1}{1-q}

\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0

בדוגמה: $\displaystyle {S}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}$ .
כש- $\displaystyle q\geq1$ או $\displaystyle q\leq-1$ האיברים אינם קטנים, ולסדרה אין סכום כזה.

מנה שלילית

בסדרה $\displaystyle 12, -6, 3, -1.5, \ldots$ , $\displaystyle {q}={-\frac{1}{2}}$ :

S=\frac{12}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{12}{1.5}=8

הסכומים $\displaystyle 12, 6, 9, 7.5, \ldots$ קופצים מעל 8 ומתחתיו, ובכל פעם קרובים אליו יותר.

דוגמה: מהנתונים לסכום

בסדרה הנדסית אינסופית, סכום האיבר הראשון והאיבר החמישי הוא 5,440.
האיבר הראשון גדול פי 8 מהאיבר הרביעי.

$\displaystyle {\frac{a_1}{a_4}}={\frac{1}{q^3}}={8}$ , ולכן $\displaystyle {q^3}={\frac{1}{8}}$ , ו- $\displaystyle {q}={\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle {a_1+a_1\cdot\frac{1}{16}}={5440}$ , כלומר $\displaystyle {\frac{17}{16}a_1}={5440}$ , ו- $\displaystyle {a_1}={5120}$ .
סכום הסדרה: $\displaystyle {S}={\frac{5120}{1-\frac{1}{2}}}={10240}$ .
האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה הנדסית אינסופית עם $\displaystyle {a_2}={2560}$ ומנה $\displaystyle {q^2}={\frac{1}{4}}$ : סכומם $\displaystyle {\frac{2560}{1-\frac{1}{4}}}={\frac{10240}{3}}$ .

דוגמה: משולשי אמצעים

במשולש ששטחו $\displaystyle S$ בונים את שלושת קטעי האמצעים. במשולש שהם יוצרים שוב בונים את קטעי האמצעים, וכך הלאה:

קטעי האמצעים מחלקים משולש לארבעה משולשים חופפים, ולכן שטח המשולש האמצעי הוא $\displaystyle \frac{S}{4}$ .
השטחים $\displaystyle S, \frac{S}{4}, \frac{S}{16}, \ldots$ הם סדרה הנדסית, $\displaystyle {q}={\frac{1}{4}}$ .
סכום כל השטחים: $\displaystyle {\frac{S}{1-\frac{1}{4}}}={\frac{4S}{3}}$ .

תרגיל 1

חשבו את הסכום של הסדרה ההנדסית האינסופית.

\displaystyle 27, 9, 3, \ldots

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle 40, -10, 2.5, \ldots

תרגיל 2

סכום של סדרה הנדסית אינסופית הוא 60, והמנה $\displaystyle {q}={\frac{1}{3}}$ .
מצאו את $\displaystyle a_1$ .

תרגיל 3

סכום של סדרה הנדסית אינסופית הוא 24, והאיבר הראשון 18.
מצאו את $\displaystyle q$ .

תרגיל 4

לאילו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום? הסבירו.

$\displaystyle 5, 10, 20, \ldots$
$\displaystyle 5, -5, 5, \ldots$
$\displaystyle 9, 6, 4, \ldots$

תרגיל 5

כדור נופל מגובה 8 מ’.
אחרי כל פגיעה בקרקע הוא עולה ל- $\displaystyle \frac{3}{4}$ מהגובה הקודם, ונופל שוב.
כמה מטרים יעבור הכדור, למטה ולמעלה, עד שייעצר?

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$