הוכחה שסדרה היא חשבונית

סדרה היא חשבונית כשההפרש $\displaystyle a_{n+1}-a_n$ הוא אותו מספר לכל $\displaystyle n$. בדיקה של כמה איברים אינה הוכחה: אולי האיבר הבא כבר לא מתאים.
בהוכחה שלפניכם נראה שהסדרה $\displaystyle {a_n}={7-3n}$ חשבונית:

• $\displaystyle {a_{n+1}}={7-3(n+1)}={4-3n}$.
• $\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={(4-3n)-(7-3n)}={-3}$.
• ההפרש הוא $\displaystyle -3$ לכל $\displaystyle n$, ולכן הסדרה חשבונית, ו-$\displaystyle {d}={-3}$.

כדי להראות שסדרה אינה חשבונית מספיקה דוגמה אחת: שני זוגות של איברים סמוכים עם הפרשים שונים.
בסדרה $\displaystyle {a_n}={n^2+1}$: $\displaystyle {a_1}={2}$, $\displaystyle {a_2}={5}$, $\displaystyle {a_3}={10}$.

• $\displaystyle {a_2-a_1}={3}$, אבל $\displaystyle {a_3-a_2}={5}$.
• ההפרשים שונים, ולכן הסדרה אינה חשבונית.

• הכלל $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+5}$ אומר ישר שההפרש הוא 5 לכל $\displaystyle n$: הסדרה חשבונית.
• בכלל $\displaystyle {a_1}={12}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={3a_n-2}$: $\displaystyle {a_2}={34}$, $\displaystyle {a_3}={100}$. $\displaystyle {a_2-a_1}={22}$ ו-$\displaystyle {a_3-a_2}={66}$, ולכן הסדרה אינה חשבונית.

$\displaystyle {S_n}={a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n}$, ו-$\displaystyle {S_{n-1}}={a_1+\ldots+a_{n-1}}$. ההפרש ביניהם הוא האיבר האחרון:

ואת $\displaystyle a_1$ נותן $\displaystyle S_1$ – הסכום של איבר אחד.
בדוגמה שלפניכם נתון $\displaystyle {S_n}={n^2+4n}$. נמצא את $\displaystyle a_n$, ונוכיח שהסדרה חשבונית:

• $\displaystyle {S_{n-1}}={(n-1)^2+4(n-1)}={n^2+2n-3}$.
• $\displaystyle {a_n}={S_n-S_{n-1}}={(n^2+4n)-(n^2+2n-3)}={2n+3}$, לכל $\displaystyle n\geq2$.
• $\displaystyle {a_1}={S_1}={1+4}={5}$, וגם $\displaystyle {2\cdot1+3}={5}$: הנוסחה $\displaystyle {a_n}={2n+3}$ נכונה לכל $\displaystyle n$.
• $\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={2}$, ולכן הסדרה חשבונית, ו-$\displaystyle {d}={2}$.

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={4n+9}$.

חשבו את $\displaystyle a_{n+1}-a_n$.

האם הסדרה חשבונית? אם כן, מהו ההפרש?

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={2n^2}$.
הראו בדוגמה נגדית שהסדרה אינה חשבונית.

סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים של סדרה: $\displaystyle {S_n}={3n^2-n}$.

מצאו את $\displaystyle a_n$ לכל $\displaystyle n\geq2$.

חשבו את $\displaystyle a_1$, ובדקו שגם הוא מקיים את הנוסחה.

האם הסדרה חשבונית? אם כן, מהו ההפרש?

סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים של סדרה: $\displaystyle {S_n}={n^2+n+1}$.

מצאו את $\displaystyle a_n$ לכל $\displaystyle n\geq2$.

חשבו את $\displaystyle a_1$. האם הסדרה חשבונית? הסבירו.