הוכחה שסדרה היא הנדסית

סדרה היא הנדסית כשהמנה $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$ היא אותו מספר לכל $\displaystyle n$, ואף איבר אינו 0.
בהוכחה שלפניכם נראה שהסדרה $\displaystyle {b_n}={2\cdot3^{n-1}}$ הנדסית:

• $\displaystyle {b_{n+1}}={2\cdot3^{n}}$.
• $\displaystyle {\frac{b_{n+1}}{b_n}}={\frac{2\cdot3^n}{2\cdot3^{n-1}}}={3^{n-(n-1)}}={3}$.
• המנה היא 3 לכל $\displaystyle n$, ולכן הסדרה הנדסית, ו-$\displaystyle {q}={3}$.

כדי להראות שסדרה אינה הנדסית מספיקה דוגמה אחת: שני זוגות של איברים סמוכים עם מנות שונות.
בסדרה $\displaystyle {a_n}={n\cdot2^n}$: $\displaystyle {a_1}={2}$, $\displaystyle {a_2}={8}$, $\displaystyle {a_3}={24}$.

• $\displaystyle {\frac{a_2}{a_1}}={4}$, אבל $\displaystyle {\frac{a_3}{a_2}}={3}$.
• המנות שונות, ולכן הסדרה אינה הנדסית.

• הכלל $\displaystyle {a_{n+1}}={5a_n}$, עם $\displaystyle a_1\neq0$, אומר ישר שהמנה היא 5 לכל $\displaystyle n$: הסדרה הנדסית.
• בכלל $\displaystyle {a_1}={1}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={2a_n+1}$: $\displaystyle {a_2}={3}$, $\displaystyle {a_3}={7}$. $\displaystyle {\frac{a_2}{a_1}}={3}$ ו-$\displaystyle {\frac{a_3}{a_2}}={\frac{7}{3}}$, ולכן הסדרה אינה הנדסית.

גם כאן $\displaystyle {a_n}={S_n-S_{n-1}}$ לכל $\displaystyle n\geq2$, ו-$\displaystyle {a_1}={S_1}$.
בדוגמה שלפניכם נתון $\displaystyle {S_n}={2^n-1}$. נמצא את $\displaystyle a_n$, ונוכיח שהסדרה הנדסית:

• $\displaystyle {a_n}={(2^n-1)-(2^{n-1}-1)}={2^n-2^{n-1}}={2^{n-1}(2-1)}={2^{n-1}}$, לכל $\displaystyle n\geq2$.
• $\displaystyle {a_1}={S_1}={2-1}={1}$, וגם $\displaystyle {2^{0}}={1}$: הנוסחה נכונה לכל $\displaystyle n$.
• $\displaystyle {a_n}={2^{n-1}}$: סדרה הנדסית, $\displaystyle {a_1}={1}$ ו-$\displaystyle {q}={2}$.

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={5\cdot2^{n+1}}$.

חשבו את $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

האם הסדרה הנדסית? מהו האיבר הראשון שלה?

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={\frac{3}{2^{n}}}$.
חשבו את $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$, והסבירו מדוע הסדרה הנדסית.

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={3^n+1}$.
הראו בדוגמה נגדית שהסדרה אינה הנדסית.

סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים של סדרה: $\displaystyle {S_n}={3^n-1}$.

מצאו את $\displaystyle a_n$ לכל $\displaystyle n\geq2$, ופשטו.

חשבו את $\displaystyle a_1$. האם הסדרה הנדסית? אם כן, מהי המנה?

סדרה מוגדרת לכל $\displaystyle n$ טבעי בכלל הנסיגה $\displaystyle {a_5}={8}$, $\displaystyle {n\cdot a_{n+1}}={4a_n-3}$.
ממנו: $\displaystyle {a_4}={\frac{35}{4}}$, $\displaystyle {a_5}={8}$, $\displaystyle {a_6}={\frac{29}{5}}$.
האם הסדרה הנדסית? הסבירו.