המנה, האיבר הראשון והממוצע ההנדסי

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_2}={6}$ ו-$\displaystyle {a_5}={162}$.
בפתרון שלפניכם נכתוב את שני האיברים בעזרת $\displaystyle a_1$ ו-$\displaystyle q$, ונחלק משוואה במשוואה:

• נחלק את השנייה בראשונה: $\displaystyle {\frac{a_1q^4}{a_1q}}={\frac{162}{6}}$, כלומר $\displaystyle {q^3}={27}$, ולכן $\displaystyle {q}={3}$.
• נציב בראשונה: $\displaystyle {3a_1}={6}$, ולכן $\displaystyle {a_1}={2}$.
• הסדרה: $\displaystyle 2, 6, 18, 54, 162, \ldots$

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_3}={12}$ ו-$\displaystyle {a_5}={48}$.
מ-$\displaystyle a_3$ ל-$\displaystyle a_5$ כופלים ב-$\displaystyle q$ פעמיים: $\displaystyle {q^2}={\frac{48}{12}}={4}$, ולכן $\displaystyle {q}={2}$ או $\displaystyle {q}={-2}$.

• $\displaystyle {q}={2}$: $\displaystyle {a_1}={\frac{12}{4}}={3}$, והסדרה $\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, \ldots$
• $\displaystyle {q}={-2}$: גם כאן $\displaystyle {a_1}={3}$, והסדרה $\displaystyle 3, -6, 12, -24, 48, \ldots$

שתי הסדרות מקיימות את הנתונים.

בסדרה הנדסית, הריבוע של כל איבר שווה למכפלה של שני האיברים שמשני צדדיו:

הסיבה: $\displaystyle {a_{n-1}}={\frac{a_n}{q}}$ ו-$\displaystyle {a_{n+1}}={a_n\cdot q}$, ולכן המכפלה שלהם היא $\displaystyle a_n^2$.
כשהאיברים חיוביים, $\displaystyle {a_n}={\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$ – הממוצע ההנדסי של שכניו, ומכאן השם “סדרה הנדסית”. למשל, בסדרה $\displaystyle 4, 8, 16$: $\displaystyle {\sqrt{4\cdot16}}={8}$.

המספרים $\displaystyle x-4$, $\displaystyle x$, $\displaystyle x+8$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית.

• $\displaystyle {x^2}={(x-4)(x+8)}={x^2+4x-32}$.
• $\displaystyle {4x-32}={0}$, ולכן $\displaystyle {x}={8}$.
• המספרים: $\displaystyle 4, 8, 16$, ו-$\displaystyle {q}={2}$.

באיזה מקום בסדרה $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$ נמצא האיבר 96?

• $\displaystyle {3\cdot2^{n-1}}={96}$, ולכן $\displaystyle {2^{n-1}}={32}$.
• $\displaystyle {32}={2^5}$, ולכן $\displaystyle {n-1}={5}$, ו-$\displaystyle {n}={6}$.

כותבים את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס, ומשווים את המעריכים.

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_2}={10}$ ו-$\displaystyle {a_5}={80}$.

מצאו את $\displaystyle q$.

מצאו את $\displaystyle a_1$.

בסדרה הנדסית $\displaystyle {a_3}={18}$ ו-$\displaystyle {a_5}={162}$.

מצאו את $\displaystyle q$.

כתבו את חמשת האיברים הראשונים של כל סדרה שמקיימת את הנתונים.

המספרים $\displaystyle x$, $\displaystyle x+6$, $\displaystyle x+24$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית.
מצאו את $\displaystyle x$ ואת המנה.

הסדרה ההנדסית: $\displaystyle 3, 6, 12, \ldots$
באיזה מקום נמצא האיבר 768?

בסדרה הנדסית, האיבר השלישי גדול ב-2 מהאיבר השני.
האיבר הרביעי גדול פי 2 מהאיבר השלישי.
מצאו את האיבר הראשון.