כלל נסיגה

כלל נסיגה אומר איך מקבלים כל איבר מהאיבר שלפניו. יחד איתו נותנים את האיבר הראשון – ממנו מתחילים:

• $\displaystyle a_{n+1}$ הוא האיבר שאחרי $\displaystyle a_n$: הכלל אומר שכל איבר גדול ב-4 מהאיבר שלפניו.
• $\displaystyle {a_2}={a_1+4}={7}$, $\displaystyle {a_3}={a_2+4}={11}$, $\displaystyle {a_4}={a_3+4}={15}$.
• הכלל נכון לכל $\displaystyle n$ טבעי, ולכן הסדרה ממשיכה בלי סוף: $\displaystyle 3, 7, 11, 15, \ldots$

נציב בכלל, איבר אחרי איבר:

• $\displaystyle {n}={1}$: $\displaystyle {a_2}={3a_1-1}={3\cdot2-1}={5}$.
• $\displaystyle {n}={2}$: $\displaystyle {a_3}={3a_2-1}={3\cdot5-1}={14}$.
• $\displaystyle {n}={3}$: $\displaystyle {a_4}={3a_3-1}={3\cdot14-1}={41}$.

כדי להגיע ל-$\displaystyle a_{10}$ צריך לעבור דרך כל האיברים שלפניו.

לאותה סדרה יכולות להיות שתי הגדרות:

• נוסחה לפי מקום נותנת כל איבר ישר מהמקום שלו – גם את $\displaystyle a_{100}$, בבת אחת;
• כלל נסיגה נותן כל איבר מהאיבר שלפניו.

הסדרה $\displaystyle 3, 7, 11, 15, \ldots$ מוגדרת בכלל $\displaystyle {a_1}={3}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+4}$, וגם בנוסחה $\displaystyle {a_n}={4n-1}$: $\displaystyle {a_1}={4\cdot1-1}={3}$, $\displaystyle {a_2}={7}$, $\displaystyle {a_3}={11}$.

בדוגמה שלפניכם נמצא כלל נסיגה לסדרה $\displaystyle {a_n}={4n-1}$: נחשב את $\displaystyle a_{n+1}$, ונראה במה הוא שונה מ-$\displaystyle a_n$.

• במקום $\displaystyle n$ נציב $\displaystyle n+1$: $\displaystyle {a_{n+1}}={4(n+1)-1}={4n+3}$.
• נחסר: $\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={(4n+3)-(4n-1)}={4}$.
• כל איבר גדול ב-4 מזה שלפניו: $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+4}$, ו-$\displaystyle {a_1}={4\cdot1-1}={3}$.

הסדרה מוגדרת בכלל הנסיגה:

חשבו:

הסדרה מוגדרת בכלל הנסיגה:

חשבו:

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={3n+2}$.

חשבו את $\displaystyle a_{n+1}-a_n$.

כתבו כלל נסיגה לסדרה, עם האיבר הראשון.

סדרה מוגדרת לכל $\displaystyle n$ טבעי בכלל הנסיגה:

חשבו את $\displaystyle a_6$: הציבו $\displaystyle {n}={5}$.

חשבו את $\displaystyle a_4$: הציבו $\displaystyle {n}={4}$, ופתרו את המשוואה.