סדרה ואיבר כללי

סדרה היא רשימה מסודרת של מספרים שאפשר להמשיך בלי סוף: יש בה מספר ראשון, מספר שני, מספר שלישי, וכן הלאה. כל מספר ברשימה הוא איבר של הסדרה.

• המספרים הזוגיים: $\displaystyle 2, 4, 6, 8, \ldots$
• מספר הכיסאות בשורות של אולם, מהשורה הראשונה: $\displaystyle 12, 14, 16, 18, \ldots$
• החזקות של 3: $\displaystyle 1, 3, 9, 27, \ldots$

שלוש הנקודות אומרות שהסדרה ממשיכה באותה חוקיות.

לכל איבר יש מקום בסדרה: ראשון, שני, שלישי… את האיברים מסמנים באות, ולידה, למטה, את המקום:

• $\displaystyle a_1$ – האיבר הראשון, $\displaystyle a_2$ – האיבר השני;
• $\displaystyle a_n$ – האיבר שבמקום ה-$\displaystyle n$;
• $\displaystyle a_{n+1}$ – האיבר שאחריו, ו-$\displaystyle a_{n-1}$ – האיבר שלפניו.

המקום $\displaystyle n$ הוא מספר טבעי: $\displaystyle 1, 2, 3, \ldots$ – אין איבר במקום $\displaystyle 0$ או במקום $\displaystyle 2.5$.
בסדרה $\displaystyle 2, 4, 6, 8, \ldots$: $\displaystyle {a_1}={2}$, $\displaystyle {a_3}={6}$, ו-$\displaystyle {a_4}={8}$.

נוסחה לפי מקום – נוסחת האיבר הכללי – נותנת כל איבר לפי המקום שלו: מציבים את $\displaystyle n$, ומקבלים את $\displaystyle a_n$.
בסדרה $\displaystyle {a_n}={3n-1}$:

• $\displaystyle {a_1}={3\cdot1-1}={2}$;
• $\displaystyle {a_2}={3\cdot2-1}={5}$;
• $\displaystyle {a_{10}}={3\cdot10-1}={29}$.

כך מחשבים איבר רחוק בלי לכתוב את כל האיברים שלפניו. הנוסחה היא פונקציה שמוגדרת רק על המספרים הטבעיים: לכל מקום $\displaystyle n$ היא מתאימה מספר, $\displaystyle a_n$.

את האיברים הראשונים של $\displaystyle {a_n}={3n-1}$ אפשר לכתוב בטבלת ערכים:

ובגרף, שבו כל איבר הוא נקודה $\displaystyle (n, a_n)$:

• ציר ה-$\displaystyle x$ הוא המקום $\displaystyle n$, וציר ה-$\displaystyle y$ הוא ערך האיבר $\displaystyle a_n$.
• הגרף של סדרה הוא נקודות נפרדות – גרף בדיד: בין $\displaystyle {n}={1}$ ל-$\displaystyle {n}={2}$ אין איבר, ולכן אין קו שמחבר את הנקודות.

אפשר לתאר סדרה גם במילים, ומהמילים להגיע לנוסחה:

• “המספרים האי־זוגיים, מ-1”: $\displaystyle 1, 3, 5, 7, \ldots$ – כל איבר קטן ב-1 מפעמיים המקום שלו: $\displaystyle {a_n}={2n-1}$.
• “הריבועים של המספרים הטבעיים”: $\displaystyle 1, 4, 9, 16, \ldots$ – $\displaystyle {a_n}={n^2}$.

את הנוסחה בודקים על איבר או שניים: $\displaystyle {a_4}={2\cdot4-1}={7}$, והאיבר הרביעי של המספרים האי־זוגיים הוא אכן 7.

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={5n-3}$.
חשבו:

הסדרה: $\displaystyle {a_n}={4n+3}$.

באיזה מקום בסדרה נמצא האיבר 63?

האם 52 הוא איבר בסדרה? הסבירו.

כתבו נוסחה לפי מקום לכל סדרה:

• $\displaystyle 3, 6, 9, 12, \ldots$
• $\displaystyle 2, 4, 8, 16, \ldots$
• $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$