המקום של איבר ומספר האיברים

בסדרה $\displaystyle 7, 11, 15, \ldots$ ($\displaystyle {a_1}={7}$, $\displaystyle {d}={4}$) נמצא באיזה מקום נמצא האיבר 207: נציב $\displaystyle {a_n}={207}$ בנוסחת האיבר הכללי, ונפתור משוואה ב-$\displaystyle n$.

• נחסר 7: $\displaystyle {(n-1)\cdot4}={200}$.
• נחלק ב-4: $\displaystyle {n-1}={50}$, ולכן $\displaystyle {n}={51}$.
• 207 הוא האיבר ה-51 בסדרה.

המקום של איבר הוא תמיד מספר טבעי. האם 100 הוא איבר באותה סדרה?

• $\displaystyle {7+(n-1)\cdot4}={100}$ נותן $\displaystyle {n-1}={23.25}$, כלומר $\displaystyle {n}={24.25}$.
• $\displaystyle 24.25$ אינו מספר טבעי, ולכן 100 אינו איבר: הוא בין $\displaystyle {a_{24}}={99}$ ל-$\displaystyle {a_{25}}={103}$.

הסדרה החשבונית $\displaystyle 86, 82, 78, \ldots, -70$ נגמרת ב-$\displaystyle -70$. מספר האיברים בה הוא המקום של האיבר האחרון:

• $\displaystyle {a_1}={86}$, $\displaystyle {d}={82-86}={-4}$.
• $\displaystyle {86+(n-1)\cdot(-4)}={-70}$, ולכן $\displaystyle {(n-1)\cdot(-4)}={-156}$, ו-$\displaystyle {n-1}={39}$.
• $\displaystyle {n}={40}$: בסדרה 40 איברים.

באותה סדרה, האיברים החיוביים הם אלה שמקיימים $\displaystyle a_n>0$:

• נפתח סוגריים: $\displaystyle 90-4n>0$, ולכן $\displaystyle n<22.5$.
• $\displaystyle n$ טבעי, ולכן $\displaystyle {n}={1, 2, \ldots, 22}$: בסדרה 22 איברים חיוביים.
• האיבר החיובי הקטן ביותר הוא האחרון שבהם: $\displaystyle {a_{22}}={86-21\cdot4}={2}$.

• הכלל $\displaystyle {a_1}={4}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+5}$ אומר שהסדרה חשבונית, עם $\displaystyle {a_1}={4}$ ו-$\displaystyle {d}={5}$. הנוסחה: $\displaystyle {a_n}={4+(n-1)\cdot5}={5n-1}$.
• בנוסחה $\displaystyle {a_n}={5n+3}$: $\displaystyle {a_{n+1}-a_n}={(5(n+1)+3)-(5n+3)}={5}$, ו-$\displaystyle {a_1}={8}$. הכלל: $\displaystyle {a_1}={8}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+5}$.

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 3, 10, 17, \ldots$

באיזה מקום נמצא האיבר 346?

האם 100 הוא איבר בסדרה? הסבירו.

הסדרה החשבונית: $\displaystyle 50, 47, 44, \ldots, -31$.

כמה איברים יש בסדרה?

כמה איברים חיוביים יש בסדרה?

מהו האיבר החיובי הקטן ביותר?

סדרה מוגדרת בכלל הנסיגה $\displaystyle {a_1}={-6}$, $\displaystyle {a_{n+1}}={a_n+4}$.
כתבו את נוסחת האיבר הכללי, ופשטו אותה.

בסדרה חשבונית $\displaystyle {a_1}={-20}$ ו-$\displaystyle {d}={3}$.
מאיזה מקום האיברים חיוביים?