גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב, 4 יחידות לימוד.נושאים

הנושאים, לפי הסדר:

ישרים ומישורים במרחב: קביעת מישור, המצב ההדדי של שני ישרים, של ישר ומישור ושל שני מישורים, ישר מאונך למישור;
המנסרה והפירמידה: המונחים, הגובה, שטח המעטפת ושטח הפנים; מקבילון, תיבה וקובייה, פירמידה ישרה;
וקטורים בגישה גאומטרית: וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים, חיבור, חיסור וכפל בסקלר, צירוף לינארי;
מערכת צירים במרחב ווקטורים בהצגה אלגברית;
המכפלה הסקלרית: הזווית בין וקטורים, אורכים, זוויות ושטחים, וקטורים מאונכים ווקטור מאונך למישור;
נפח המנסרה והפירמידה.

הקורס נשען על הטריגונומטריה והגאומטריה של כיתות י’ וי"א (4 יח"ל): פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית, סינוס של זווית קהה ושטח משולש לפי סינוס. מה שצריך מהן חוזר בשיעורים עצמם.

יש שני סוגים של שיעורים:

שיעורי לימוד – הסבר, דוגמאות פתורות וכמה שאלות לנסות;
שיעורי תרגול – שאלות בלבד.

איך עובדים בדף: שימוש בדף.

עודכן לאחרונה ב 18.10.2026

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$