וקטור בהצגה אלגברית

וקטורי היחידה של הצירים הם $\displaystyle \vec{i}$, $\displaystyle \vec{j}$, $\displaystyle \vec{k}$: אורך כל אחד מהם 1, והכיוונים שלהם הם הכיוונים של הצירים $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$.

שלושתם אינם באותו מישור, ולכן כל וקטור הוא צירוף לינארי יחיד שלהם (המשפט משיעור 10):

זו ההצגה האלגברית של $\displaystyle \vec{u}$ – שלשה סדורה של מספרים. הווקטור מ-$\displaystyle O$ אל הנקודה $\displaystyle P(x,y,z)$ הוא $\displaystyle (x,y,z)$: בשרטוט $\displaystyle {\vec{u}}={\overrightarrow{OP}}={(2,3,2)}$.

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}}$, ולכן – הסוף פחות ההתחלה:

ופעולות על וקטורים נעשות שיעור-שיעור:

• שוויון: שני וקטורים שווים אם ורק אם כל השיעורים שלהם שווים.
• חיבור: $\displaystyle {(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)}={(x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2)}$.
• כפל בסקלר: $\displaystyle {t(x,y,z)}={(tx,ty,tz)}$.
• קולינאריות: $\displaystyle {\vec{v}}={t\vec{u}}$ – כל שיעור של $\displaystyle \vec{v}$ הוא אותו מספר $\displaystyle t$ כפול השיעור של $\displaystyle \vec{u}$.
• אורך – האלכסון של תיבה, כמו בשיעור הקודם:

נתונות הנקודות $\displaystyle A(3,-4,1)$, $\displaystyle B(4,1,8)$, $\displaystyle C(2,0,7)$.

• $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(1,5,7)}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={(-1,4,6)}$.
• הם אינם קולינאריים: $\displaystyle {-1}={t\cdot1}$ נותן $\displaystyle {t}={-1}$, אבל $\displaystyle 4\neq-1\cdot5$. לכן $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ אינן על ישר אחד – הן משולש.
• $\displaystyle {|\overrightarrow{AB}|}={\sqrt{1+25+49}}={\sqrt{75}}={5\sqrt{3}}$.
• מפגש התיכונים $\displaystyle M$: $\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}={\frac{1}{3}(0,9,13)}$, ולכן $\displaystyle {M}={\left(3,\ -4+3,\ 1+\frac{13}{3}\right)}={\left(3,-1,\frac{16}{3}\right)}$.
• אמצע קטע הוא הממוצע של השיעורים: אמצע $\displaystyle AB$ הוא $\displaystyle {\left(\frac{3+4}{2},\frac{-4+1}{2},\frac{1+8}{2}\right)}={(3.5,-1.5,4.5)}$.

האם $\displaystyle {\vec{w}}={(3,6,8)}$ הוא צירוף לינארי של $\displaystyle {\vec{u}}={(1,5,7)}$ ו-$\displaystyle {\vec{v}}={(-1,4,6)}$?

$\displaystyle {s\vec{u}+t\vec{v}}={\vec{w}}$ הוא שוויון של שלושה שיעורים – שלוש משוואות בשני נעלמים:

משתי הראשונות: $\displaystyle {s}={2}$, $\displaystyle {t}={-1}$. הן מקיימות גם את השלישית: $\displaystyle {14-6}={8}$. לכן $\displaystyle {\vec{w}}={2\vec{u}-\vec{v}}$, ו-$\displaystyle \vec{w}$ במישור של $\displaystyle \vec{u}$ ו-$\displaystyle \vec{v}$. אילו המשוואה השלישית לא הייתה מתקיימת, למערכת לא היה פתרון, ו-$\displaystyle \vec{w}$ לא היה צירוף שלהם.

נתונות הנקודות $\displaystyle A(1,2,-1)$ ו-$\displaystyle B(4,-2,11)$.

רשמו את $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ בהצגה אלגברית.

נתונים הווקטורים $\displaystyle {\vec{u}}={(2,-1,3)}$ ו-$\displaystyle {\vec{v}}={(1,4,-2)}$.

חשבו את $\displaystyle 2\vec{u}-3\vec{v}$.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית: $\displaystyle A(1,0,2)$, $\displaystyle B(4,1,3)$, $\displaystyle C(5,3,-1)$.
מצאו את השיעורים של $\displaystyle D$. (רמז: $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{BC}}$.)

האם הנקודות $\displaystyle A(1,1,1)$, $\displaystyle B(3,2,-1)$, $\displaystyle C(7,4,-5)$ על ישר אחד? נמקו בעזרת וקטורים.

$\displaystyle {\vec{u}}={(1,2,1)}$, $\displaystyle {\vec{v}}={(2,3,-1)}$, $\displaystyle {\vec{w}}={(4,7,1)}$.
מצאו $\displaystyle s$ ו-$\displaystyle t$ כך ש-$\displaystyle {\vec{w}}={s\vec{u}+t\vec{v}}$: רשמו את שלוש המשוואות ופתרו.

$\displaystyle {\vec{u}}={(1,0,1)}$, $\displaystyle {\vec{v}}={(0,1,1)}$, $\displaystyle {\vec{w}}={(1,1,1)}$.
הנה המערכת של $\displaystyle {\vec{w}}={s\vec{u}+t\vec{v}}$. פתרו אותה: האם $\displaystyle \vec{w}$ הוא צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו-$\displaystyle \vec{v}$?