מערכת צירים במרחב

במרחב יש שלושה צירים שמאונכים זה לזה ונפגשים בראשית הצירים $\displaystyle O$: ציר $\displaystyle x$, ציר $\displaystyle y$ וציר $\displaystyle z$. בשרטוט ציר $\displaystyle x$ יוצא מהדף אליכם, ציר $\displaystyle y$ פונה ימינה, וציר $\displaystyle z$ למעלה.

שיעורי הנקודה $\displaystyle P(x,y,z)$ אומרים איך מגיעים אליה מ-$\displaystyle O$: $\displaystyle x$ יחידות בכיוון ציר $\displaystyle x$, אחר כך $\displaystyle y$ יחידות בכיוון ציר $\displaystyle y$, ולבסוף $\displaystyle z$ יחידות למעלה. בשרטוט: $\displaystyle P(3,4,2)$.

מספר שלילי פירושו לזוז בכיוון ההפוך לציר.

כל שני צירים קובעים מישור:

• המישור $\displaystyle xy$ – הנקודות שבו הן $\displaystyle (x,y,0)$: $\displaystyle {z}={0}$.
• המישור $\displaystyle xz$ – $\displaystyle (x,0,z)$: $\displaystyle {y}={0}$.
• המישור $\displaystyle yz$ – $\displaystyle (0,y,z)$: $\displaystyle {x}={0}$.

ועל הצירים עצמם שני שיעורים הם 0:

• על ציר $\displaystyle x$ – $\displaystyle (x,0,0)$; על ציר $\displaystyle y$ – $\displaystyle (0,y,0)$; על ציר $\displaystyle z$ – $\displaystyle (0,0,z)$.

הנקודה שמתחת ל-$\displaystyle P(3,4,2)$ במישור $\displaystyle xy$ היא $\displaystyle (3,4,0)$, והמרחק של $\displaystyle P$ מהמישור $\displaystyle xy$ הוא 2.

הקווים המקווקווים בשרטוט הם המקצועות של תיבה שהמימדים שלה $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, ו-$\displaystyle OP$ הוא האלכסון שלה. לכן, לפי משפט פיתגורס פעמיים:

למשל, ל-$\displaystyle P(3,4,2)$: $\displaystyle {OP}={\sqrt{9+16+4}}={\sqrt{29}}$.

לתיבה $\displaystyle OABCO'A'B'C'$ יש קודקוד בראשית הצירים, ושלושה מקצועות על הצירים: $\displaystyle {OA}={4}$, $\displaystyle {OC}={5}$, $\displaystyle {OO'}={3}$.
רשמו את השיעורים של שמונת הקודקודים.

לכל נקודה: האם היא על ציר, במישור של שני צירים, או באף אחד מהם? ציינו איזה.

$\displaystyle (0,3,0)$

$\displaystyle (2,0,5)$

$\displaystyle (0,0,-4)$

$\displaystyle (1,2,3)$

נתונה הנקודה $\displaystyle Q(3,-2,4)$.

מהי הנקודה שמתחת ל-$\displaystyle Q$ (או מעליה) במישור $\displaystyle xy$?

חשבו את המרחק של הנקודה $\displaystyle P(2,3,6)$ מראשית הצירים.

הבסיס של הפירמידה הישרה $\displaystyle OACBS$ הוא המלבן $\displaystyle OACB$, במישור $\displaystyle xy$: $\displaystyle A(4,0,0)$, $\displaystyle B(0,8,0)$.
הגובה $\displaystyle SD$ מאונך למישור הבסיס, ו-$\displaystyle {SD}={12}$.

מהם השיעורים של $\displaystyle C$?

למה $\displaystyle D$ הוא מפגש האלכסונים של הבסיס? מהם השיעורים שלה?

מהם השיעורים של $\displaystyle S$?