דלג לתוכן

וקטורים קולינאריים: ישרים מקבילים ונקודות על ישר אחד

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

וקטורים קולינאריים: ישרים מקבילים ונקודות על ישר אחד

התנאי לקולינאריות

שני וקטורים שונים מווקטור האפס הם קולינאריים אם ורק אם אחד מהם הוא מספר כפול השני:

v⃗\displaystyle \vec{v} =\displaystyle = t⋅u⃗\displaystyle t\cdot\vec{u}

שני שימושים:

  • ישרים מקבילים: אם CD→=t⋅AB→\displaystyle {\overrightarrow{CD}}={t\cdot\overrightarrow{AB}}, והישרים AB\displaystyle AB ו-CD\displaystyle CD אינם אותו ישר, אז AB∥CD\displaystyle AB\parallel CD.
  • שלוש נקודות על ישר אחד: אם AC→=t⋅AB→\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={t\cdot\overrightarrow{AB}}, אז A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C על ישר אחד: הווקטורים קולינאריים ויש להם נקודה משותפת, A\displaystyle A.
נקודה שמחלקת קטע ביחס נתון

אם M\displaystyle M על הקטע AB\displaystyle AB ו-AM:MB=2:3\displaystyle {AM:MB}={2:3}, אז AM\displaystyle AM הוא 25\displaystyle \frac{2}{5} מ-AB\displaystyle AB, באותו כיוון:

AM→=25AB→\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}
  • M\displaystyle M אמצע AB\displaystyle AB: AM→=12AB→\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}.
  • במשולש ABC\displaystyle ABC, התיכונים נפגשים בנקודה M\displaystyle M שמחלקת כל תיכון ביחס 2:1\displaystyle 2:1 מהקודקוד (כיתה י’). אם K\displaystyle K אמצע BC\displaystyle BC: AM→=23AK→\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\frac{2}{3}\overrightarrow{AK}}.
דוגמה: שלוש נקודות על ישר אחד בטרפז

uvABCDMNO

בטרפז ABCD\displaystyle ABCD (AD∥BC\displaystyle AD\parallel BC) נתון: AD=2BC\displaystyle {AD}={2BC}.
הנקודה O\displaystyle O על האלכסון AC\displaystyle AC, ו-OC:AO=1:2\displaystyle {OC:AO}={1:2}.
M\displaystyle M ו-N\displaystyle N הם אמצעי הצלעות BC\displaystyle BC ו-AD\displaystyle AD.
נסמן: AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, BC→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={\vec{v}}.
הוכיחו: M\displaystyle M, O\displaystyle O, N\displaystyle N על ישר אחד.

בהוכחה שלפניכם נביע את MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} ואת MO→\displaystyle \overrightarrow{MO} באמצעות u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}, ונראה שאחד מהם הוא מספר כפול השני.

  • AD→=2v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={2\vec{v}}: AD\displaystyle AD מקביל ל-BC\displaystyle BC, באותו כיוון ופי 2 ממנו.
  • AM→=u⃗+12v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AM}}={\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}}, ו-AN→=12AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AN}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
  • MN→=AN→−AM→=−u⃗+12v⃗\displaystyle {\overrightarrow{MN}}={\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}}={-\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}}.
  • AO→=23AC→=23u⃗+23v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AO}}={\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}}={\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}}, ולכן MO→=AO→−AM→=−13u⃗+16v⃗\displaystyle {\overrightarrow{MO}}={\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AM}}={-\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v}}.
  • MO→=13MN→\displaystyle {\overrightarrow{MO}}={\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}}: הווקטורים קולינאריים ויש להם נקודה משותפת M\displaystyle M, ולכן M\displaystyle M, O\displaystyle O, N\displaystyle N על ישר אחד.
תרגיל 1

u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v} אינם קולינאריים. האם כל זוג וקטורים קולינארי? אם כן, רשמו את המספר t\displaystyle t.

א

u⃗\displaystyle \vec{u} ו-−3u⃗\displaystyle -3\vec{u}

ב

2u⃗+v⃗\displaystyle 2\vec{u}+\vec{v} ו-4u⃗+2v⃗\displaystyle 4\vec{u}+2\vec{v}

ג

u⃗+v⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v} ו-u⃗−v⃗\displaystyle \vec{u}-\vec{v}

תרגיל 2

uvABCKM

במשולש ABC\displaystyle ABC התיכונים נפגשים בנקודה M\displaystyle M, ו-K\displaystyle K אמצע הצלע BC\displaystyle BC.
AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AC→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\vec{v}}. הביעו באמצעות u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}:

א
AK→\displaystyle \overrightarrow{AK}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      BM→\displaystyle \overrightarrow{BM}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        uvABCDEF

        ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
        הנקודה E\displaystyle E על AB\displaystyle AB, ו-AE:EB=1:2\displaystyle {AE:EB}={1:2}.
        הנקודה F\displaystyle F על האלכסון AC\displaystyle AC, ו-AF:FC=1:3\displaystyle {AF:FC}={1:3}.

        א
        DE→\displaystyle \overrightarrow{DE}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          DF→\displaystyle \overrightarrow{DF}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            האם D\displaystyle D, F\displaystyle F, E\displaystyle E על ישר אחד? נמקו.

            תרגיל 4

            uvwABCDA′B′C′D′MN

            בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}, AA′→=w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}.
            M\displaystyle M אמצע המקצוע B′C′\displaystyle B'C', ו-N\displaystyle N אמצע המקצוע C′D′\displaystyle C'D'.

            א
            MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              BD→\displaystyle \overrightarrow{BD}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                הוכיחו: MN∥BD\displaystyle MN\parallel BD. פי כמה BD\displaystyle BD ארוך מ-MN\displaystyle MN?

                BDMN\displaystyle \frac{BD}{MN}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה