אורכים, זוויות ושטחים בעזרת המכפלה הסקלרית

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 15 מתוך 20לימוד

אורכים, זוויות ושטחים בעזרת המכפלה הסקלרית

הדרך

כדי לחשב אורך או זווית בגוף בעזרת וקטורים:

בוחרים וקטורי בסיס – שלושה מקצועות או קטעים שהאורכים והזוויות ביניהם ידועים, ולא באותו מישור.
מחשבים את טבלת המכפלות שלהם: כל וקטור בריבוע, וכל זוג. וקטור מאונך למישור – המכפלה שלו עם כל וקטור במישור היא 0.
מביעים את הקטעים המבוקשים כצירופים של וקטורי הבסיס.
אורך: $\displaystyle {|\vec{a}|}={\sqrt{\vec{a}^2}}$ , ומפתחים לפי המכפלה המקוצרת.
זווית: $\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}}$ – כששני הקטעים יוצאים מאותה נקודה.
שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן (כיתה י"א):

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma

דוגמה: פירמידה ישרה

בפירמידה הישרה $\displaystyle SABCD$ הבסיס $\displaystyle ABCD$ הוא מלבן, ו- $\displaystyle SO$ הגובה.
נתון: $\displaystyle {AB}={4}$ , $\displaystyle {BC}={3}$ , $\displaystyle {SO}={5}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{OS}}={\vec{w}}$ .
חשבו את הזווית $\displaystyle BSC$ .

טבלת המכפלות: $\displaystyle {\vec{u}^2}={16}$ , $\displaystyle {\vec{v}^2}={9}$ , $\displaystyle {\vec{w}^2}={25}$ . $\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{v}}={0}$ (מלבן), $\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{w}}={\vec{v}\cdot\vec{w}}={0}$ (הגובה מאונך לבסיס).
$\displaystyle O$ אמצע האלכסונים: $\displaystyle {\overrightarrow{OB}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}}={\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}}$ , ו- $\displaystyle {\overrightarrow{OC}}={\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{SB}}={-\vec{w}+\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{SC}}={-\vec{w}+\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}}$ .
$\displaystyle {|\overrightarrow{SB}|^2}={25+\frac{1}{4}\cdot16+\frac{1}{4}\cdot9}={31.25}$ , וגם $\displaystyle {|\overrightarrow{SC}|^2}={31.25}$ . (כל המכפלות המעורבות הן 0.)
$\displaystyle {\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}}={\vec{w}^2+\frac{1}{4}\vec{u}^2-\frac{1}{4}\vec{v}^2}={25+4-2.25}={26.75}$ .
$\displaystyle {\cos\angle BSC}={\frac{26.75}{31.25}}$ , ולכן $\displaystyle \angle BSC\approx31.13^{\circ}$ .

תרגיל 1

במנסרה ישרה $\displaystyle ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך הצלע שלהם 3.
אורך המקצוע הצדדי 4.
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}$ .

\displaystyle \overrightarrow{A'C}

באמצעות

\displaystyle \vec{u}

\displaystyle \vec{v}

\displaystyle \vec{w}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle |\overrightarrow{A'C}|

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}

\displaystyle \overrightarrow{A'B}\cdot\overrightarrow{A'C}

הזווית

\displaystyle BA'C

, מעוגלת לשתי ספרות

שטח המשולש

\displaystyle BA'C

, מעוגל לשתי ספרות

תרגיל 2

במנסרה הישרה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $\displaystyle ABCD$ הוא מקבילית.
$\displaystyle E$ אמצע המקצוע $\displaystyle D'C'$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}$ .
נתון: $\displaystyle {|\vec{u}|}={|\vec{v}|}={8}$ , $\displaystyle {|\vec{w}|}={5}$ , $\displaystyle {|\overrightarrow{AE}|}={11}$ .

\displaystyle \overrightarrow{AE}

באמצעות

\displaystyle \vec{u}

\displaystyle \vec{v}

\displaystyle \vec{w}

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}

הזווית

\displaystyle BAD

, מעוגלת לשתי ספרות

שטח הבסיס

\displaystyle ABCD

, מעוגל לשתי ספרות

תרגיל 3

אורך המקצוע של הקובייה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הוא 2, ו- $\displaystyle M$ אמצע המקצוע $\displaystyle CC'$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}$ .

\displaystyle |\overrightarrow{AM}|

\displaystyle \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC'}

הזווית

\displaystyle MAC'

, מעוגלת לשתי ספרות

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$