ישר ומישור, שני מישורים

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 2 מתוך 20לימוד

ישר ומישור, שני מישורים

המצב ההדדי של ישר ומישור

לישר ולמישור יש שלושה מצבים הדדיים:

הישר נמצא במישור – כל הנקודות שלו במישור. מספיק ששתי נקודות של הישר נמצאות במישור.
הישר והמישור נחתכים בנקודה אחת.
הישר מקביל למישור – אין להם נקודה משותפת.

בתיבה שבשרטוט, ביחס למישור הבסיס $\displaystyle ABCD$ :

$\displaystyle BD$ נמצא במישור: $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle D$ שתיהן בבסיס.
$\displaystyle AC'$ חותך אותו בנקודה $\displaystyle A$ : הנקודה $\displaystyle C'$ נמצאת מעל הבסיס.
$\displaystyle A'C'$ מקביל לו: $\displaystyle A'C'$ מקביל ל- $\displaystyle AC$ , שנמצא בבסיס.

המקרה האחרון הוא דרך נוחה לזהות ישר מקביל למישור: ישר שאינו במישור ומקביל לישר כלשהו שבמישור – מקביל למישור.

שני מישורים

לשני מישורים שונים יש שני מצבים הדדיים:

נחתכים – הם נפגשים לאורך ישר שלם, ישר החיתוך. מישור הבסיס $\displaystyle ABCD$ והמישור $\displaystyle ABB'A'$ נחתכים בישר $\displaystyle AB$ .
מקבילים – אין להם נקודה משותפת: הבסיס $\displaystyle ABCD$ והמכסה $\displaystyle A'B'C'D'$ .

כדי למצוא את ישר החיתוך מחפשים שתי נקודות ששייכות לשני המישורים. הישר שעובר דרכן הוא ישר החיתוך.

דוגמה: מצבים הדדיים בתיבה

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ :

$\displaystyle BB'$ הוא ישר החיתוך של המישורים $\displaystyle ABB'A'$ ו- $\displaystyle BCC'B'$ : $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle B'$ נמצאות בשניהם.
המישור $\displaystyle ACC'A'$ חותך את מישור הבסיס בישר $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle AD$ נמצא במישור $\displaystyle ADD'A'$ .
$\displaystyle A'D'$ מקביל למישור הבסיס: הוא מקביל ל- $\displaystyle AD$ .
$\displaystyle BD'$ חותך את המישור $\displaystyle A'B'C'D'$ בנקודה $\displaystyle D'$ .

תרגיל 1

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ : מהו המצב ההדדי של הישר והמישור? נמקו.

$\displaystyle C'D'$ ומישור הבסיס $\displaystyle ABCD$

$\displaystyle BD'$ והמישור $\displaystyle A'B'C'D'$

$\displaystyle B'C'$ והמישור $\displaystyle BCC'B'$

$\displaystyle A'C'$ והמישור $\displaystyle ACC'A'$

תרגיל 2

באותה תיבה: מהו המצב ההדדי של שני המישורים? אם הם נחתכים, רשמו את ישר החיתוך.

$\displaystyle ABB'A'$ ו- $\displaystyle DCC'D'$

$\displaystyle ABCD$ ו- $\displaystyle BCC'B'$

$\displaystyle ABC'D'$ ו- $\displaystyle DCC'D'$

תרגיל 3

באותה תיבה:

באילו פאות של התיבה נמצאת הנקודה $\displaystyle A$ ?

באילו פאות של התיבה הנקודה $\displaystyle A$ לא נמצאת?

תרגיל 4

בפירמידה $\displaystyle SABCD$ הבסיס הוא המקבילית $\displaystyle ABCD$ . מהו המצב ההדדי? נמקו.

מישור הבסיס והמישור $\displaystyle SAB$

הישר $\displaystyle DC$ ומישור הבסיס

הישר $\displaystyle DC$ והמישור $\displaystyle SAB$

הישר $\displaystyle SC$ ומישור הבסיס

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$