דלג לתוכן

ישר מאונך למישור

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20לימוד

ישר מאונך למישור

חזרה: המשולש ישר הזווית

בכיתות י’ וי"א למדתם: במשולש ישר זווית, α\displaystyle \alpha זווית חדה, a\displaystyle a הניצב שמולה, b\displaystyle b הניצב שלידה ו-c\displaystyle c היתר.

a2+b2\displaystyle a^2+b^2 =\displaystyle = c2\displaystyle c^2
sin⁡α\displaystyle \sin\alpha =\displaystyle = ac\displaystyle \frac{a}{c}
cos⁡α\displaystyle \cos\alpha =\displaystyle = bc\displaystyle \frac{b}{c}
tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = ab\displaystyle \frac{a}{b}
  • הזוויות המיוחדות: sin⁡30∘=12\displaystyle {\sin30^{\circ}}={\frac{1}{2}}, sin⁡45∘=22\displaystyle {\sin45^{\circ}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}, sin⁡60∘=32\displaystyle {\sin60^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{2}}, tan⁡30∘=33\displaystyle {\tan30^{\circ}}={\frac{\sqrt{3}}{3}}, tan⁡60∘=3\displaystyle {\tan60^{\circ}}={\sqrt{3}}.
  • זווית לפי יחס של צלעות: α=tan⁡−1(ab)\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}, וכך גם sin⁡−1\displaystyle \sin^{-1} ו-cos⁡−1\displaystyle \cos^{-1}. המחשבון – במעלות; זווית מעוגלת כותבים אחרי ≈\displaystyle \approx.
  • בתשובה מדויקת שורש נשאר שורש: 50=52\displaystyle {\sqrt{50}}={5\sqrt{2}}.
ישר מאונך למישור

ABCDA′B′C′D′

ישר שחותך מישור בנקודה A\displaystyle A מאונך למישור כשהוא מאונך לכל ישר במישור שעובר דרך A\displaystyle A.

התנאי המספיק: אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, שעוברים דרך נקודת החיתוך שלו עם המישור – הוא מאונך למישור.

בתיבה, AA′⊥AB\displaystyle AA'\perp AB ו-AA′⊥AD\displaystyle AA'\perp AD: הפאות ABB′A′\displaystyle ABB'A' ו-ADD′A′\displaystyle ADD'A' הן מלבנים. AB\displaystyle AB ו-AD\displaystyle AD נחתכים ב-A\displaystyle A, ולכן AA′\displaystyle AA' מאונך למישור הבסיס. מכאן ש-AA′\displaystyle AA' מאונך גם ל-AC\displaystyle AC, אף ש-AC\displaystyle AC אינו מקצוע: המשולש A′AC\displaystyle A'AC ישר זווית ב-A\displaystyle A.

גובה של גוף

הגובה של גוף הוא קטע מאונך ממישור אחד של הגוף (מכסה, קודקוד) אל מישור הבסיס. לכן הגובה מאונך לכל ישר בבסיס שעובר דרך העקב שלו, וכל ישר כזה יוצר עם הגובה משולש ישר זווית.

דוגמה: אלכסון התיבה

4312ABCDA′B′C′D′

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' נתון: AB=4\displaystyle {AB}={4}, BC=3\displaystyle {BC}={3}, AA′=12\displaystyle {AA'}={12}.
חשבו את אורך האלכסון A′C\displaystyle A'C ואת הזווית בין A′C\displaystyle A'C לבין AC\displaystyle AC.

  • במשולש ABC\displaystyle ABC, ישר הזווית ב-B\displaystyle B: AC=42+32=5\displaystyle {AC}={\sqrt{4^2+3^2}}={5}.
  • AA′\displaystyle AA' מאונך למישור הבסיס, ולכן AA′⊥AC\displaystyle AA'\perp AC. במשולש A′AC\displaystyle A'AC, ישר הזווית ב-A\displaystyle A: A′C=122+52=13\displaystyle {A'C}={\sqrt{12^2+5^2}}={13}.
  • הזווית α=∠A′CA\displaystyle {\alpha}={\angle A'CA}: tan⁡α=125\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{12}{5}}, ולכן α=tan⁡−1(125)≈67.38∘\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)\approx67.38^{\circ}}.
תרגיל 1

ABCDA′B′C′D′

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' נתון: AB=6\displaystyle {AB}={6}, BC=8\displaystyle {BC}={8}, AA′=10\displaystyle {AA'}={10}.

א

למה המשולש A′AC\displaystyle A'AC ישר זווית? נמקו.

ב
AC\displaystyle AC

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג
    A′C\displaystyle A'C, מדויק

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      30°ABCDA′B′C′D′

      בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' אורך אלכסון הבסיס BD\displaystyle BD הוא 5.
      הזווית בין אלכסון התיבה BD′\displaystyle BD' לבין אלכסון הבסיס BD\displaystyle BD היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}.

      א

      למה המשולש BDD′\displaystyle BDD' ישר זווית? נמקו.

      ב
      המקצוע הצדדי DD′\displaystyle DD', מדויק

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג
        אלכסון התיבה BD′\displaystyle BD', מדויק

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          αABCDA′B′C′D′

          אורך המקצוע של הקובייה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' הוא 4.
          חשבו את הזווית α\displaystyle \alpha בין אלכסון הקובייה AC′\displaystyle AC' לבין אלכסון הבסיס AC\displaystyle AC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            PT

            נגר מציב עמוד ובודק בעזרת משולש שהעמוד מאונך לקרקע. הוא בודק פעמיים, בשני כיוונים שונים על הקרקע. למה בדיקה אחת לא מספיקה?