דלג לתוכן

צירוף לינארי של וקטורים

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

צירוף לינארי של וקטורים

צירוף לינארי

צירוף לינארי של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v} הוא וקטור מהצורה su⃗+tv⃗\displaystyle s\vec{u}+t\vec{v}, כש-s\displaystyle s ו-t\displaystyle t מספרים. כל הווקטורים שהבענו עד עכשיו – u⃗+12v⃗\displaystyle \vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}, −u⃗+v⃗+w⃗\displaystyle -\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} – הם צירופים לינאריים.

שני משפטים (בלי הוכחה):

  • במישור: אם u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v} אינם קולינאריים, כל וקטור במישור שלהם אפשר להציג בדרך אחת בלבד כ-su⃗+tv⃗\displaystyle s\vec{u}+t\vec{v}. כל צירוף כזה נמצא במישור של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v} או במישור מקביל לו.
  • במרחב: אם u⃗\displaystyle \vec{u}, v⃗\displaystyle \vec{v}, w⃗\displaystyle \vec{w} אינם באותו מישור, כל וקטור במרחב אפשר להציג בדרך אחת בלבד כ-su⃗+tv⃗+rw⃗\displaystyle s\vec{u}+t\vec{v}+r\vec{w}.

השוואת מקדמים: מכיוון שההצגה יחידה, אם su⃗+tv⃗=s′u⃗+t′v⃗\displaystyle {s\vec{u}+t\vec{v}}={s'\vec{u}+t'\vec{v}}, אז s=s′\displaystyle {s}={s'} ו-t=t′\displaystyle {t}={t'}.

דוגמה: נקודת המפגש של שני ישרים

uvABCDEK

ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
E\displaystyle E אמצע BC\displaystyle BC. הקטעים AE\displaystyle AE ו-BD\displaystyle BD נפגשים בנקודה K\displaystyle K.
באיזה יחס K\displaystyle K מחלקת את AE\displaystyle AE?

בפתרון שלפניכם נביע את AK→\displaystyle \overrightarrow{AK} בשתי דרכים, ונשווה מקדמים.

  • K\displaystyle K על AE\displaystyle AE: AK→=t⋅AE→=t(u⃗+12v⃗)=tu⃗+t2v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={t\cdot\overrightarrow{AE}}={t\left(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\right)}={t\vec{u}+\frac{t}{2}\vec{v}}.
  • K\displaystyle K על BD\displaystyle BD: AK→=AB→+s⋅BD→=u⃗+s(v⃗−u⃗)=(1−s)u⃗+sv⃗\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{BD}}={\vec{u}+s(\vec{v}-\vec{u})}={(1-s)\vec{u}+s\vec{v}}.
  • השוואת המקדמים של u⃗\displaystyle \vec{u} ושל v⃗\displaystyle \vec{v} נותנת מערכת משוואות:
t=1−s,t2=st=1-s,\qquad \frac{t}{2}=s

ולכן t=1−t2\displaystyle {t}={1-\frac{t}{2}}, t=23\displaystyle {t}={\frac{2}{3}}. כלומר AK→=23AE→\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}}, ו-AK:KE=2:1\displaystyle {AK:KE}={2:1}.

ישר מקביל למישור בעזרת וקטורים

uwABCDMNF

המישור ABC\displaystyle ABC נקבע על ידי u⃗=AB→\displaystyle {\vec{u}}={\overrightarrow{AB}} ו-v⃗=AC→\displaystyle {\vec{v}}={\overrightarrow{AC}}. אם PQ→\displaystyle \overrightarrow{PQ} הוא צירוף לינארי של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}, אז PQ\displaystyle PQ נמצא במישור ABC\displaystyle ABC (כש-P\displaystyle P במישור) או מקביל לו (כש-P\displaystyle P מחוץ למישור).

דוגמה. בפירמידה המשולשת ABCD\displaystyle ABCD: AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AC→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\vec{v}}, AD→=w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{w}}.
הנקודה M\displaystyle M על AD\displaystyle AD, ו-AM:MD=3:1\displaystyle {AM:MD}={3:1}.
הנקודה N\displaystyle N מקיימת DN→=18(DB→+DC→)\displaystyle {\overrightarrow{DN}}={\frac{1}{8}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right)}.
האם MN\displaystyle MN מקביל למישור ABC\displaystyle ABC?

  • DB→=u⃗−w⃗\displaystyle {\overrightarrow{DB}}={\vec{u}-\vec{w}} ו-DC→=v⃗−w⃗\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\vec{v}-\vec{w}}, ולכן DN→=18u⃗+18v⃗−14w⃗\displaystyle {\overrightarrow{DN}}={\frac{1}{8}\vec{u}+\frac{1}{8}\vec{v}-\frac{1}{4}\vec{w}}.
  • MN→=MD→+DN→=14w⃗+18u⃗+18v⃗−14w⃗=18u⃗+18v⃗\displaystyle {\overrightarrow{MN}}={\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN}}={\frac{1}{4}\vec{w}+\frac{1}{8}\vec{u}+\frac{1}{8}\vec{v}-\frac{1}{4}\vec{w}}={\frac{1}{8}\vec{u}+\frac{1}{8}\vec{v}}.
  • MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} הוא צירוף של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}, ו-M\displaystyle M מחוץ למישור ABC\displaystyle ABC: MN\displaystyle MN מקביל למישור ABC\displaystyle ABC.
  • יותר מזה: אם F\displaystyle F אמצע BC\displaystyle BC, אז AF→=12u⃗+12v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AF}}={\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}}, ו-MN→=14AF→\displaystyle {\overrightarrow{MN}}={\frac{1}{4}\overrightarrow{AF}}. לכן MN∥AF\displaystyle MN\parallel AF.
תרגיל 1

uvABCDMK

ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
M\displaystyle M אמצע CD\displaystyle CD. הקטעים AM\displaystyle AM ו-BD\displaystyle BD נפגשים בנקודה K\displaystyle K.

א
AK→=t⋅AM→\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={t\cdot\overrightarrow{AM}} – הביעו באמצעות t\displaystyle t, u⃗\displaystyle \vec{u}, v⃗\displaystyle \vec{v}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    AK→=AB→+s⋅BD→\displaystyle {\overrightarrow{AK}}={\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{BD}} – הביעו באמצעות s\displaystyle s, u⃗\displaystyle \vec{u}, v⃗\displaystyle \vec{v}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      השוו מקדמים, ופתרו את המערכת.

        ד

        באיזה יחס K\displaystyle K מחלקת את AM\displaystyle AM?

        תרגיל 2

        uvABCDA′B′C′D′MN

        בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}, AA′→=w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}.
        M\displaystyle M אמצע AA′\displaystyle AA', ו-N\displaystyle N אמצע CC′\displaystyle CC'.

        א
        MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          האם MN\displaystyle MN מקביל למישור הבסיס ABCD\displaystyle ABCD? נמקו.

          תרגיל 3

          uvABCD

          במשולש ABC\displaystyle ABC: AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AC→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\vec{v}}.
          הנקודה D\displaystyle D על BC\displaystyle BC, ו-BD:DC=1:3\displaystyle {BD:DC}={1:3}.
          הציגו את AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} כצירוף לינארי של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            uvABCDEK

            ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
            הנקודה E\displaystyle E על AB\displaystyle AB, ו-AE=13AB\displaystyle {AE}={\frac{1}{3}AB}. הקטעים DE\displaystyle DE ו-AC\displaystyle AC נפגשים בנקודה K\displaystyle K.
            הביעו את AK→\displaystyle \overrightarrow{AK} בשתי דרכים, השוו מקדמים, ומצאו באיזה יחס K\displaystyle K מחלקת את AC\displaystyle AC.