ישרים ומישורים במרחב

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

ישרים ומישורים במרחב

נקודות, ישרים ומישורים

במרחב יש נקודות, ישרים ומישורים. התיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ היא דגם נוח לכולם:

כל קודקוד הוא נקודה, וכל מקצוע הוא חלק מישר. הישר ממשיך מעבר למקצוע לשני הכיוונים.
כל פאה היא חלק ממישור. המישור ממשיך מעבר לפאה לכל הכיוונים, כמו רצפה בלי קירות.
מישור נקרא לפי שלוש מהנקודות שלו או יותר: מישור הבסיס $\displaystyle ABCD$ , המישור $\displaystyle ABB'$ .
בשרטוט, מקצוע שמוסתר מאחורי הגוף מסורטט בקו מקווקו.

קביעת מישור

דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מישור אחד בלבד. לכן מישור נקבע על ידי כל אחד מאלה:

שלוש נקודות שאינן על ישר אחד – למשל $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ קובעות את מישור הבסיס.
ישר ונקודה מחוץ לישר – הישר $\displaystyle AB$ והנקודה $\displaystyle D$ .
שני ישרים נחתכים – $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle BC$ , שנפגשים ב- $\displaystyle B$ .
שני ישרים מקבילים – $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DC$ .

בכל אחת משלוש הדרכים האחרונות מסתתרות שלוש נקודות: שתי נקודות על ישר אחד, ועוד נקודה מחוץ לו.

שני ישרים במרחב

לשני ישרים שונים במרחב יש שלושה מצבים הדדיים:

נחתכים – יש להם נקודה משותפת אחת. הם נמצאים במישור אחד.
מקבילים – הם נמצאים במישור אחד, ואין להם נקודה משותפת.
מצטלבים – אין מישור שמכיל את שניהם. לכן הם לא נפגשים, וגם לא מקבילים.

בשרטוט, $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CC'$ מצטלבים: $\displaystyle AB$ נמצא בבסיס, ו- $\displaystyle CC'$ יוצא מהבסיס למעלה בנקודה $\displaystyle C$ , שאינה על $\displaystyle AB$ .

במישור אין ישרים מצטלבים: שני ישרים במישור שלא נפגשים הם תמיד מקבילים.

דוגמה: ישרים בתיבה

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ :

$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle A'B'$ מקבילים: הפאה $\displaystyle ABB'A'$ היא מלבן.
$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle BB'$ נחתכים ב- $\displaystyle B$ .
$\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle B'D'$ מצטלבים. $\displaystyle AC$ נמצא במישור הבסיס, ו- $\displaystyle B'D'$ במישור המכסה. המישורים האלה לא נפגשים, ולכן גם הישרים לא נפגשים. הם גם לא מקבילים: $\displaystyle B'D'$ מקביל ל- $\displaystyle BD$ , ו- $\displaystyle BD$ חותך את $\displaystyle AC$ .

תרגיל 1

מהו המצב ההדדי של כל זוג ישרים בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ ? נמקו.

$\displaystyle AA'$ ו- $\displaystyle CC'$

$\displaystyle A'C'$ ו- $\displaystyle CC'$

$\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DD'$

$\displaystyle BD$ ו- $\displaystyle B'D'$

תרגיל 2

נתונה פירמידה $\displaystyle SABCD$ , שהבסיס שלה הוא המקבילית $\displaystyle ABCD$ .
רשמו את מה שקובע את מישור הבסיס:

נקודה וישר

שני ישרים נחתכים

שני ישרים מקבילים

תרגיל 3

באותה פירמידה $\displaystyle SABCD$ : מהו המצב ההדדי של כל זוג ישרים? נמקו.

$\displaystyle DC$ ו- $\displaystyle AB$

$\displaystyle DC$ ו- $\displaystyle SB$

$\displaystyle SA$ ו- $\displaystyle SC$

תרגיל 4

שרפרף עם שלוש רגליים עומד יציב על כל רצפה, וכיסא עם ארבע רגליים מתנדנד לפעמים. הסבירו למה, בעזרת קביעת מישור.

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$