ניצבות: וקטורים מאונכים ווקטור מאונך למישור

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

ניצבות: וקטורים מאונכים ווקטור מאונך למישור

וקטורים מאונכים

$\displaystyle {\cos90^{\circ}}={0}$ , וזו הזווית היחידה בין $\displaystyle 0^{\circ}$ ל- $\displaystyle 180^{\circ}$ שהקוסינוס שלה 0. לכן:

שני וקטורים מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם 0: $\displaystyle {\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}}={0}$ .

למשל $\displaystyle {(1,2,3)\cdot(3,0,-1)}={3+0-3}={0}$ : הווקטורים מאונכים.

וקטור מאונך למישור

וקטור מאונך למישור כשהוא מאונך לכל וקטור במישור.

התנאי המספיק: אם $\displaystyle \vec{n}$ מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ שקובעים את המישור – הוא מאונך למישור.

הסיבה: כל וקטור במישור הוא $\displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}$ , ו- $\displaystyle {\vec{n}\cdot(s\vec{a}+t\vec{b})}={s\,\vec{n}\cdot\vec{a}+t\,\vec{n}\cdot\vec{b}}={0}$ .
כך מוכיחים שקטע הוא גובה של פירמידה או של מנסרה: הוא מאונך לשני מקצועות נחתכים של הבסיס.

דוגמה: טרפז ישר זווית ופירמידה

נתונות הנקודות $\displaystyle A(3,0,1)$ , $\displaystyle B(3,1,-1)$ , $\displaystyle C(-2,-1,-7)$ , $\displaystyle D(-2,-4,-1)$ , $\displaystyle E(-1,4,3)$ .
הוכיחו ש- $\displaystyle ABCD$ טרפז ישר זווית, ושהמקצוע $\displaystyle AE$ של הפירמידה $\displaystyle ABCDE$ מאונך למישור $\displaystyle ABCD$ .

בהוכחה שלפניכם נראה ש- $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ קולינארי ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ , ונחשב מכפלות סקלריות.

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(0,1,-2)}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={(0,3,-6)}={3\overrightarrow{AB}}$ : $\displaystyle AB\parallel DC$ , ו- $\displaystyle {DC}={3AB}$ . לכן $\displaystyle ABCD$ טרפז.
$\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={(-5,-4,-2)}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}={0-4+4}={0}$ : $\displaystyle AD\perp AB$ – הטרפז ישר זווית.
$\displaystyle {\overrightarrow{AE}}={(-4,4,2)}$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}={0+4-4}={0}$ ו- $\displaystyle {\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}}={20-16-4}={0}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ו- $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ אינם קולינאריים, ולכן $\displaystyle AE$ מאונך למישור $\displaystyle ABCD$ – הוא הגובה של הפירמידה.

תרגיל 1

חשבו את המכפלה הסקלרית, וכתבו אם הווקטורים מאונכים.

\displaystyle (2,-1,4)

ו-

\displaystyle (1,2,1)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle (3,-2,5)

ו-

\displaystyle (4,1,-2)

תרגיל 2

בפירמידה המרובעת $\displaystyle SABCD$ קודקודי הבסיס הם $\displaystyle A(0,0,0)$ , $\displaystyle B(4,0,0)$ , $\displaystyle C(4,4,0)$ , $\displaystyle D(0,4,0)$ .
קודקוד הראש הוא $\displaystyle S(2,2,5)$ .

הוכיחו שבסיס הפירמידה הוא ריבוע.

למה בסיס הפירמידה נמצא במישור $\displaystyle xy$ ?

\displaystyle |\overrightarrow{SA}|

, מדויק

\displaystyle |\overrightarrow{SC}|

, מדויק

חשבו גם את $\displaystyle SB$ ואת $\displaystyle SD$ , והסבירו למה הפירמידה ישרה.

תרגיל 3

במקבילון $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $\displaystyle ABCD$ הוא מעוין שאורך הצלע שלו 1.
נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle A'AB}={\angle A'AD}={60^{\circ}}$ , $\displaystyle {AA'}={1.2}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}$ .
הנקודה $\displaystyle E$ על האלכסון $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle {AE:EC}={2:3}$ .

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{w}

\displaystyle \overrightarrow{A'E}

באמצעות

\displaystyle \vec{u}

\displaystyle \vec{v}

\displaystyle \vec{w}

\displaystyle \overrightarrow{A'E}\cdot\vec{u}

\displaystyle \overrightarrow{A'E}\cdot\vec{v}

הסבירו למה $\displaystyle A'E$ מאונך למישור הבסיס.

תרגיל 4

בפירמידה $\displaystyle SABCD$ הקודקודים הם $\displaystyle A(3,-5,9)$ , $\displaystyle B(6,1,0)$ , $\displaystyle C(0,4,-9)$ , $\displaystyle D(-3,-2,0)$ , $\displaystyle S(6,-19,-10)$ .
הנקודה $\displaystyle K$ מקיימת $\displaystyle {\overrightarrow{DK}}={\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}}$ .

הסבירו למה $\displaystyle K$ על האלכסון $\displaystyle DB$ , ומצאו את השיעורים שלה.

\displaystyle \overrightarrow{SK}\cdot\overrightarrow{DB}

\displaystyle \overrightarrow{SK}\cdot\overrightarrow{DA}

מה מסיקים על $\displaystyle SK$ ? נמקו.

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$