תרגול: מכפלה סקלרית, ניצבות ונפחים

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20תרגול

תרגול: מכפלה סקלרית, ניצבות ונפחים

$\displaystyle {|\vec{u}|}={6}$ , $\displaystyle {|\vec{v}|}={4}$ , והזווית ביניהם $\displaystyle 120^{\circ}$ .
חשבו בדיוק:

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|

\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})

בפירמידה $\displaystyle ABCD$ הקודקודים הם $\displaystyle A(-1,1,0)$ , $\displaystyle B(0,1,1)$ , $\displaystyle C(-4,3,-1)$ , $\displaystyle D(0,6,0)$ .
$\displaystyle DO$ הוא הגובה של הפירמידה.

הוכיחו שהפירמידה ישרה: חשבו את $\displaystyle DA$ , $\displaystyle DB$ , $\displaystyle DC$ .

הזווית

\displaystyle BAC

, מעוגלת לשתי ספרות

הרדיוס

\displaystyle R

של המעגל החוסם את המשולש

\displaystyle ABC

(משפט הסינוסים), מעוגל לשתי ספרות

למה $\displaystyle DO\perp AO$ ? ולמה $\displaystyle {AO}={R}$ ?

הגובה

\displaystyle DO

, מעוגל לשתי ספרות

במשולש $\displaystyle ABC$ התיכונים נפגשים בנקודה $\displaystyle M$ .
$\displaystyle A(3,-4,1)$ , $\displaystyle B(4,1,8)$ , $\displaystyle C(2,0,7)$ .

מצאו את השיעורים של $\displaystyle M$ .

פי כמה שטח המשולש $\displaystyle ABC$ גדול משטח המשולש $\displaystyle BMC$ ? נמקו.

הבסיס של הפירמידה הישרה $\displaystyle OACBS$ הוא המלבן $\displaystyle OACB$ : $\displaystyle A(4,0,0)$ , $\displaystyle B(0,8,0)$ , ו- $\displaystyle S(2,4,12)$ .
בפירמידה ישרה כל פאה צדדית היא משולש שווה שוקיים, ולכן הגובה שלה יורד אל אמצע מקצוע הבסיס.

שטח הפאה

\displaystyle SOA

, מדויק (רמז: אמצע

\displaystyle OA

הוא

\displaystyle (2,0,0)

)

שטח הפאה

\displaystyle SAC

, מדויק

שטח המעטפת, מעוגל לשתי ספרות

קובייה שאורך המקצוע שלה 3 מונחת על הצירים, וקודקוד אחד שלה בראשית.
$\displaystyle O(0,0,0)$ , $\displaystyle P(3,3,3)$ , $\displaystyle Q(3,0,0)$ , $\displaystyle R(0,3,3)$ : $\displaystyle OP$ ו- $\displaystyle QR$ הם שני אלכסונים של הקובייה.
מהי הזווית החדה בין שני אלכסונים של קובייה? עגלו לשתי ספרות.

במנסרה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $\displaystyle ABCD$ הוא מקבילית: $\displaystyle A(1,2,0)$ , $\displaystyle B(3,2,0)$ , $\displaystyle D(1,5,0)$ , $\displaystyle A'(2,3,4)$ .
הבסיס במישור $\displaystyle xy$ .

האם המנסרה ישרה? נמקו בעזרת מכפלה סקלרית.

מהו הגובה של המנסרה? (רמז: המרחק של $\displaystyle A'$ מהמישור $\displaystyle xy$ .)

נפח המנסרה

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$