דלג לתוכן

המנסרה: מונחים, שטח מעטפת ושטח פנים

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 4 מתוך 20לימוד

המנסרה: מונחים, שטח מעטפת ושטח פנים

המנסרה

hABCA′B′C′H

מנסרה היא גוף ששני הבסיסים שלו הם מצולעים חופפים במישורים מקבילים, וכל קודקוד של בסיס אחד מחובר במקצוע לקודקוד המתאים בבסיס השני.

  • בסיסים – ABC\displaystyle ABC ו-A′B′C′\displaystyle A'B'C'.
  • פאות צדדיות – מקביליות, כמו ABB′A′\displaystyle ABB'A'.
  • מקצועות – מקצועות הבסיס (AB\displaystyle AB, B′C′\displaystyle B'C' …) והמקצועות הצדדיים (AA′\displaystyle AA', BB′\displaystyle BB', CC′\displaystyle CC'). המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים זה לזה.
  • אלכסון – קטע שמחבר שני קודקודים שאינם באותה פאה. במנסרה משולשת אין אלכסונים; בתיבה יש ארבעה.
  • גובה – המרחק בין מישורי הבסיסים: קטע מאונך מקודקוד של בסיס אחד אל מישור הבסיס השני, כמו A′H\displaystyle A'H. העקב H\displaystyle H יכול להיות גם מחוץ לבסיס.
מקבילון, מנסרה ישרה, תיבה וקובייה

ABCDA′B′C′D′

  • מקבילון – מנסרה שהבסיסים שלה מקביליות. כל שש הפאות שלו מקביליות.
  • מנסרה ישרה – המקצועות הצדדיים מאונכים למישור הבסיס. הפאות הצדדיות הן מלבנים, והגובה שווה למקצוע הצדדי.
  • תיבה – מנסרה ישרה שהבסיס שלה מלבן.
  • קובייה – תיבה שכל המקצועות שלה שווים.
שטח המעטפת ושטח הפנים

שטח המעטפת M\displaystyle M הוא סכום השטחים של הפאות הצדדיות. שטח הפנים S\displaystyle S הוא שטח המעטפת ועוד שני הבסיסים (B\displaystyle B – שטח בסיס אחד):

S\displaystyle S =\displaystyle = M+2B\displaystyle M+2B

במנסרה ישרה הפאות הצדדיות הן מלבנים שהגובה של כולם h\displaystyle h, וסכום הבסיסים שלהם הוא היקף הבסיס P\displaystyle P:

M\displaystyle M =\displaystyle = P⋅h\displaystyle P\cdot h

במנסרה משופעת מחשבים כל פאה צדדית לחוד. שטח מקבילית שהצלעות שלה a\displaystyle a, b\displaystyle b והזווית ביניהן α\displaystyle \alpha הוא a⋅b⋅sin⁡α\displaystyle a\cdot b\cdot\sin\alpha (כיתה י"א).

דוגמה: מנסרה ישרה משולשת

34ABCA′B′C′

הבסיסים של מנסרה ישרה הם משולשים שווי צלעות שאורך הצלע שלהם 3. אורך המקצוע הצדדי 4.

  • M=P⋅h=9⋅4=36\displaystyle {M}={P\cdot h}={9\cdot4}={36}.
  • שטח הבסיס: B=12⋅3⋅3⋅sin⁡60∘=934\displaystyle {B}={\frac{1}{2}\cdot3\cdot3\cdot\sin60^{\circ}}={\frac{9\sqrt{3}}{4}}.
  • S=36+2⋅934=36+932≈43.79\displaystyle {S}={36+2\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}}={36+\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx43.79}.
תרגיל 1

8610ABCA′B′C′

הבסיס של מנסרה ישרה הוא משולש ABC\displaystyle ABC, ישר זווית ב-B\displaystyle B: AB=8\displaystyle {AB}={8}, BC=6\displaystyle {BC}={6}.
אורך המקצוע הצדדי 10.

א
AC\displaystyle AC

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    שטח המעטפת

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      שטח הפנים

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        ABCDA′B′C′D′

        הבסיס של מנסרה ישרה הוא מעוין שאורכי האלכסונים שלו 6 ו-8.
        גובה המנסרה 5.

        א
        צלע המעוין

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          שטח המעטפת

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            שטח הפנים

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              60°ABCDA′B′C′D′

              הבסיס של המקבילון ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' הוא ריבוע שאורך הצלע שלו 4.
              אורך המקצוע הצדדי AA′=5\displaystyle {AA'}={5}, ו-∠A′AB=∠A′AD=60∘\displaystyle {\angle A'AB}={\angle A'AD}={60^{\circ}}.
              חשבו בדיוק:

              א
              שטח הפאה ABB′A′\displaystyle ABB'A'

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב
                שטח המעטפת

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג
                  שטח הפנים

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    ABCA′B′C′

                    במנסרה ABCA′B′C′\displaystyle ABCA'B'C':

                    א

                    באילו פאות נמצא המקצוע BB′\displaystyle BB'?

                    ב

                    אילו שלושה קודקודים קובעים את המישור של הפאה ACC′A′\displaystyle ACC'A'?

                    ג

                    למנסרה שהבסיס שלה מחומש: כמה קודקודים, כמה מקצועות וכמה פאות?

                    קודקודים

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      מקצועות

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        פאות

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה