חזרה: גאומטריה במרחב ווקטורים

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 20 מתוך 20תרגול

חזרה: גאומטריה במרחב ווקטורים

נתונה פירמידה $\displaystyle SABCD$ שהבסיס שלה הוא המקבילית $\displaystyle ABCD$ .

רשמו שני ישרים מקבילים שקובעים את מישור הבסיס.

הישר $\displaystyle AB$ הוא ישר החיתוך של אילו שני מישורים?

מהו המצב ההדדי של הישר $\displaystyle DC$ והמישור $\displaystyle SAB$ ? ושל הישרים $\displaystyle DC$ ו- $\displaystyle SB$ ?

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={\vec{v}}$ .
$\displaystyle M$ אמצע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle N$ אמצע $\displaystyle AC$ .

\displaystyle \overrightarrow{MN}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle \overrightarrow{BC}

הוכיחו בעזרת וקטורים: $\displaystyle MN\parallel BC$ ו- $\displaystyle {MN}={\frac{1}{2}BC}$ .

במנסרה הישרה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $\displaystyle ABCD$ הוא מקבילית, ו- $\displaystyle E$ אמצע $\displaystyle D'C'$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}={\vec{v}}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}$ .
נתון: $\displaystyle {|\vec{u}|}={|\vec{v}|}={8}$ , $\displaystyle {|\vec{w}|}={5}$ , $\displaystyle {|\overrightarrow{AE}|}={11}$ .
בשיעור 15 מצאתם: $\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{v}}={16}$ .

שטח הבסיס, מדויק (רמז:

\displaystyle {\sin\alpha}={\sqrt{1-\cos^2\alpha}}

)

נפח המנסרה, מעוגל לשתי ספרות

\displaystyle \overrightarrow{D'A}\cdot\overrightarrow{D'E}

האם $\displaystyle {\angle AD'E}={90^{\circ}}$ ? נמקו.

בפירמידה $\displaystyle SABCD$ הקודקודים הם $\displaystyle A(1,1,0)$ , $\displaystyle B(5,1,0)$ , $\displaystyle C(5,4,0)$ , $\displaystyle D(1,4,0)$ , $\displaystyle S(3,2.5,6)$ .

הוכיחו שהבסיס הוא מלבן.

הנקודה $\displaystyle O(3,2.5,0)$ היא מפגש האלכסונים. הוכיחו ש- $\displaystyle SO$ הוא הגובה של הפירמידה.

נפח הפירמידה

אורך המקצוע הצדדי

\displaystyle SA

הזווית

\displaystyle ASC

, מעוגלת לשתי ספרות

$\displaystyle {\vec{u}}={(1,1,2)}$ , $\displaystyle {\vec{v}}={(2,-1,1)}$ , $\displaystyle {\vec{w}}={(5,-1,4)}$ .
הציגו את $\displaystyle \vec{w}$ כצירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$ : רשמו את המערכת ופתרו.

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$