מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית

המכפלה הסקלרית מהשיעורים

וקטורי היחידה מאונכים זה לזה ואורך כל אחד 1, ולכן $\displaystyle {\vec{i}^2}={\vec{j}^2}={\vec{k}^2}={1}$ , ו- $\displaystyle {\vec{i}\cdot\vec{j}}={\vec{i}\cdot\vec{k}}={\vec{j}\cdot\vec{k}}={0}$ . כשמכפילים לפי חוק הפילוג נשארות רק המכפלות של שיעורים מתאימים:

\displaystyle (x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)

\displaystyle =

\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

\displaystyle |\vec{u}|

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}

\displaystyle \cos\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

דוגמה: זווית ושטח של משולש

נתונות הנקודות $\displaystyle A(-1,1,0)$ , $\displaystyle B(0,1,1)$ , $\displaystyle C(-4,3,-1)$ . חשבו את הזווית $\displaystyle BAC$ ואת שטח המשולש $\displaystyle ABC$ .

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(1,0,1)}$ , $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}={(-3,2,-1)}$ .
$\displaystyle {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}={-3+0-1}={-4}$ .
$\displaystyle {|\overrightarrow{AB}|}={\sqrt{2}}$ , $\displaystyle {|\overrightarrow{AC}|}={\sqrt{9+4+1}}={\sqrt{14}}$ .
$\displaystyle {\cos\angle BAC}={\frac{-4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}}}$ , ולכן $\displaystyle \angle BAC\approx139.11^{\circ}$ – זווית קהה, כי המכפלה שלילית.
$\displaystyle {S}={\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}\cdot\sin139.11^{\circ}\approx1.73}$ .

תרגיל 1

נתונים הווקטורים $\displaystyle {\vec{u}}={(2,-1,3)}$ ו- $\displaystyle {\vec{v}}={(1,4,2)}$ .

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle |\vec{u}|

, מדויק

הזווית בין

\displaystyle \vec{u}

ל-

\displaystyle \vec{v}

, מעוגלת לשתי ספרות

תרגיל 2

נתונות הנקודות $\displaystyle A(3,-4,1)$ , $\displaystyle B(4,1,8)$ , $\displaystyle C(2,0,7)$ .

\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

הזווית

\displaystyle BAC

, מעוגלת לשתי ספרות

שטח המשולש

\displaystyle ABC

, מעוגל לשתי ספרות

תרגיל 3

נתונות הנקודות $\displaystyle A(3,-5,9)$ , $\displaystyle B(6,1,0)$ , $\displaystyle C(0,4,-9)$ , $\displaystyle D(-3,-2,0)$ .

הוכיחו שהמרובע $\displaystyle ABCD$ הוא מקבילית.

הזווית החדה של המקבילית, מעוגלת לשתי ספרות

שטח המקבילית, מעוגל לשתי ספרות

תרגיל 4

נתונות הנקודות $\displaystyle A(2,1,0)$ , $\displaystyle B(4,3,1)$ , $\displaystyle C(1,3,-2)$ .

\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

מה אפשר להסיק על הזווית $\displaystyle BAC$ ? איזה משולש הוא $\displaystyle ABC$ ?

שטח המשולש

\displaystyle ABC

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$