דלג לתוכן

המכפלה הסקלרית

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 14 מתוך 20לימוד

המכפלה הסקלרית

הזווית בין שני וקטורים

uvαO

הזווית בין שני וקטורים נמדדת כששניהם יוצאים מאותה נקודה. היא בין 0∘\displaystyle 0^{\circ} ל-180∘\displaystyle 180^{\circ} (בפרק הזה כל הווקטורים שונים מווקטור האפס).

  • וקטורים קולינאריים באותו כיוון: 0∘\displaystyle 0^{\circ}; בכיוונים הפוכים: 180∘\displaystyle 180^{\circ}.

αABC

זהירות: במשולש ABC\displaystyle ABC, הזווית בין AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} ל-BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} אינה ∠B\displaystyle \angle B. BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} יוצא מ-B\displaystyle B, ו-AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} נכנס אליה; כדי ששניהם ייצאו מ-B\displaystyle B ממשיכים את AB\displaystyle AB מעבר ל-B\displaystyle B. הזווית היא α=180∘−∠B\displaystyle {\alpha}={180^{\circ}-\angle B}.

קוסינוס של זווית ישרה וקהה

בכיתה י’ למדתם sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\displaystyle {\sin(180^{\circ}-\alpha)}={\sin\alpha}. את הקוסינוס של זווית קהה מגדירים כך:

cos⁡(180∘−α)\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = −cos⁡α\displaystyle -\cos\alpha
  • cos⁡90∘=0\displaystyle {\cos90^{\circ}}={0}, ו-cos⁡180∘=−1\displaystyle {\cos180^{\circ}}={-1}.
  • cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\displaystyle {\cos120^{\circ}}={-\cos60^{\circ}}={-\frac{1}{2}}; cos⁡135∘=−22\displaystyle {\cos135^{\circ}}={-\frac{\sqrt{2}}{2}}; cos⁡150∘=−32\displaystyle {\cos150^{\circ}}={-\frac{\sqrt{3}}{2}}.
  • זווית חדה – קוסינוס חיובי; זווית קהה – קוסינוס שלילי. המחשבון מחשב זאת לבד, וגם cos⁡−1\displaystyle \cos^{-1} של מספר שלילי נותן זווית קהה.
ההגדרה של המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית של u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}, שהזווית ביניהם α\displaystyle \alpha, היא מספר:

u⃗⋅v⃗\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v} =\displaystyle = ∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡α\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha
  • α\displaystyle \alpha חדה – המכפלה חיובית; α=90∘\displaystyle {\alpha}={90^{\circ}} – המכפלה 0; α\displaystyle \alpha קהה – המכפלה שלילית.
  • הזווית מתוך המכפלה: cos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}}.
  • דוגמה: ∣u⃗∣=4\displaystyle {|\vec{u}|}={4}, ∣v⃗∣=3\displaystyle {|\vec{v}|}={3}, והזווית ביניהם 60∘\displaystyle 60^{\circ}: u⃗⋅v⃗=4⋅3⋅12=6\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{v}}={4\cdot3\cdot\frac{1}{2}}={6}.
התכונות של המכפלה הסקלרית
  • אורך וקטור: הזווית בין u⃗\displaystyle \vec{u} לבין עצמו היא 0∘\displaystyle 0^{\circ}, ולכן u⃗⋅u⃗=u⃗2=∣u⃗∣2\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{u}}={\vec{u}^2}={|\vec{u}|^2}.
∣u⃗∣\displaystyle |\vec{u}| =\displaystyle = u⃗2\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}
u⃗⋅v⃗\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v} =\displaystyle = v⃗⋅u⃗\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{u}
u⃗⋅(tv⃗)\displaystyle \vec{u}\cdot(t\vec{v}) =\displaystyle = t(u⃗⋅v⃗)\displaystyle t(\vec{u}\cdot\vec{v})
u⃗⋅(v⃗+w⃗)\displaystyle \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) =\displaystyle = u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}

חוק הפילוג נכון (בלי הוכחה), ולכן גם נוסחאות הכפל המקוצר – מכפלה סקלרית מקוצרת:

(u⃗+v⃗)2\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2 =\displaystyle = u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2
(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\displaystyle = u⃗2−v⃗2\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2
דוגמה: אורך של סכום

∣u⃗∣=4\displaystyle {|\vec{u}|}={4}, ∣v⃗∣=3\displaystyle {|\vec{v}|}={3}, והזווית ביניהם 60∘\displaystyle 60^{\circ}, ולכן u⃗⋅v⃗=6\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{v}}={6}.
חשבו את ∣u⃗+v⃗∣\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}| ואת ∣u⃗−v⃗∣\displaystyle |\vec{u}-\vec{v}|.

∣u⃗+v⃗∣2=u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2=16+12+9=37,∣u⃗+v⃗∣=37|\vec{u}+\vec{v}|^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2=16+12+9=37,\qquad|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{37}∣u⃗−v⃗∣2=16−12+9=13,∣u⃗−v⃗∣=13|\vec{u}-\vec{v}|^2=16-12+9=13,\qquad|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{13}

בכרטיס כותבים את החישוב במספרים: 42+2⋅6+32\displaystyle \sqrt{4^{2}+2\cdot6+3^{2}}.

תרגיל 1

∣u⃗∣=5\displaystyle {|\vec{u}|}={5}, ∣v⃗∣=2\displaystyle {|\vec{v}|}={2}. חשבו את u⃗⋅v⃗\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v} בדיוק, כשהזווית ביניהם:

א
60∘\displaystyle 60^{\circ}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    90∘\displaystyle 90^{\circ}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      120∘\displaystyle 120^{\circ}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד
        135∘\displaystyle 135^{\circ}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          ∣u⃗∣=3\displaystyle {|\vec{u}|}={3}, ∣v⃗∣=5\displaystyle {|\vec{v}|}={5}, ו-u⃗⋅v⃗=−7.5\displaystyle {\vec{u}\cdot\vec{v}}={-7.5}.
          מהי הזווית בין u⃗\displaystyle \vec{u} ל-v⃗\displaystyle \vec{v}?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            ∣u⃗∣=2\displaystyle {|\vec{u}|}={2}, ∣v⃗∣=3\displaystyle {|\vec{v}|}={3}, והזווית ביניהם 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
            חשבו בדיוק:

            א
            ∣u⃗+v⃗∣\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              ∣2u⃗−v⃗∣\displaystyle |2\vec{u}-\vec{v}|

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג
                (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  4ABC

                  ABC\displaystyle ABC משולש שווה צלעות שאורך הצלע שלו 4. חשבו:

                  א
                  AB→⋅AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב
                    AB→⋅BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה