דלג לתוכן

חיבור, חיסור וכפל בסקלר

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

חיבור, חיסור וכפל בסקלר

חיבור וקטורים

uvu+vABC

כלל המשולש: כשהווקטור השני מתחיל בסוף הראשון, הסכום הולך מההתחלה של הראשון אל הסוף של השני:

AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\displaystyle = AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}

uvABCD

כלל המקבילית: כש-u⃗=AB→\displaystyle {\vec{u}}={\overrightarrow{AB}} ו-v⃗=AD→\displaystyle {\vec{v}}={\overrightarrow{AD}} יוצאים מאותה נקודה, הסכום שלהם הוא האלכסון AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} של המקבילית ABCD\displaystyle ABCD: AD→=BC→\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{BC}}, ולכן זה אותו כלל המשולש.

  • כמה וקטורים בשרשרת: AB→+BC→+CD→=AD→\displaystyle {\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}={\overrightarrow{AD}}.
  • שרשרת שחוזרת אל ההתחלה שלה מסתכמת בווקטור האפס: AB→+BC→+CA→=0⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}}={\vec{0}}.
חיסור וקטורים

לחסר וקטור פירושו לחבר את הנגדי שלו: v⃗−u⃗=v⃗+(−u⃗)\displaystyle {\vec{v}-\vec{u}}={\vec{v}+(-\vec{u})}.

כששני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה, ההפרש הולך מהסוף של המחוסר אל הסוף של המחסר:

AD→−AB→\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} =\displaystyle = BD→\displaystyle \overrightarrow{BD}

במקבילית שבשרטוט: BD→=v⃗−u⃗\displaystyle {\overrightarrow{BD}}={\vec{v}-\vec{u}} – האלכסון השני.

כפל וקטור בסקלר

סקלר הוא מספר. הווקטור tu⃗\displaystyle t\vec{u}:

  • האורך שלו ∣t∣⋅∣u⃗∣\displaystyle |t|\cdot|\vec{u}|;
  • הכיוון שלו כמו של u⃗\displaystyle \vec{u} כש-t>0\displaystyle t>0, והפוך כש-t<0\displaystyle t<0;
  • 0⋅u⃗=0⃗\displaystyle {0\cdot\vec{u}}={\vec{0}}, ו-(−1)⋅u⃗=−u⃗\displaystyle {(-1)\cdot\vec{u}}={-\vec{u}}.

חוקי הפעולות:

u⃗+v⃗\displaystyle \vec{u}+\vec{v} =\displaystyle = v⃗+u⃗\displaystyle \vec{v}+\vec{u}
(u⃗+v⃗)+w⃗\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} =\displaystyle = u⃗+(v⃗+w⃗)\displaystyle \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})
t⋅(s⋅u⃗)\displaystyle t\cdot(s\cdot\vec{u}) =\displaystyle = (t⋅s)⋅u⃗\displaystyle (t\cdot s)\cdot\vec{u}
(t+s)u⃗\displaystyle (t+s)\vec{u} =\displaystyle = tu⃗+su⃗\displaystyle t\vec{u}+s\vec{u}
t(u⃗+v⃗)\displaystyle t(\vec{u}+\vec{v}) =\displaystyle = tu⃗+tv⃗\displaystyle t\vec{u}+t\vec{v}

אלה החוקים של האלגברה, ולכן ביטוי של וקטורים מפשטים כמו ביטוי אלגברי: פותחים סוגריים ומכנסים איברים דומים. בכרטיס כותבים u\displaystyle u במקום u⃗\displaystyle \vec{u}.

דוגמה: וקטורים בתיבה

uvwABCDA′B′C′D′

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' נסמן: AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}, AA′→=w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}.
כל וקטור בין שני קודקודים הוא שרשרת של מקצועות:

  • AC′→=AB→+BC→+CC′→=u⃗+v⃗+w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AC'}}={\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}}={\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}.
  • A′C→=A′A→+AC→=−w⃗+u⃗+v⃗\displaystyle {\overrightarrow{A'C}}={\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC}}={-\vec{w}+\vec{u}+\vec{v}}.
  • BD′→=BA→+AD→+DD′→=−u⃗+v⃗+w⃗\displaystyle {\overrightarrow{BD'}}={\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}}={-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}.
תרגיל 1

פשטו.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        uvABCDMN

        ABCD\displaystyle ABCD מקבילית, AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}.
        M\displaystyle M אמצע הצלע BC\displaystyle BC, ו-N\displaystyle N אמצע הצלע CD\displaystyle CD.
        הביעו באמצעות u⃗\displaystyle \vec{u} ו-v⃗\displaystyle \vec{v}:

        א
        AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          AN→\displaystyle \overrightarrow{AN}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              uvwABCDA′B′C′D′

              בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D': AB→=u⃗\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\vec{u}}, AD→=v⃗\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\vec{v}}, AA′→=w⃗\displaystyle {\overrightarrow{AA'}}={\vec{w}}. הביעו באמצעות u⃗\displaystyle \vec{u}, v⃗\displaystyle \vec{v}, w⃗\displaystyle \vec{w}:

              א
              B′D→\displaystyle \overrightarrow{B'D}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב
                C′A→\displaystyle \overrightarrow{C'A}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג
                  D′B→\displaystyle \overrightarrow{D'B}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    במשולש ABC\displaystyle ABC: מהו AB→+BC→+CA→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}? ומהו AB→−CB→\displaystyle \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}? נמקו.