הווקטור: אורך וכיוון

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

הווקטור: אורך וכיוון

וקטור

וקטור הוא גודל שיש לו אורך וכיוון: הליכה של 3 ק"מ צפונה, מהירות של רוח, כוח שמושך עגלה. מסרטטים אותו כחץ – קטע מכוון, מנקודת ההתחלה שלו אל נקודת הסוף.

וקטור מ- $\displaystyle A$ אל $\displaystyle B$ מסמנים $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ , או באות אחת: $\displaystyle \vec{u}$ .
אורך הווקטור $\displaystyle |\overrightarrow{AB}|$ הוא אורך הקטע $\displaystyle AB$ .
וקטור האפס $\displaystyle \vec{0}$ : נקודת ההתחלה היא גם נקודת הסוף, כמו $\displaystyle \overrightarrow{AA}$ . האורך שלו 0, ואין לו כיוון.

וקטורים במישור ובמרחב מתנהגים באותה דרך: כל מה שנלמד כאן נכון בשניהם.

וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים

וקטורים שווים – אותו אורך ואותו כיוון, בלי קשר למקום שבו הם מסורטטים. במקבילית $\displaystyle ABCD$ : $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}$ .
וקטורים נגדיים – אותו אורך וכיוונים הפוכים: $\displaystyle {\overrightarrow{CB}}={-\overrightarrow{AD}}$ . בפרט $\displaystyle {\overrightarrow{BA}}={-\overrightarrow{AB}}$ .
וקטורים קולינאריים – על אותו ישר או על ישרים מקבילים, באותו כיוון או בכיוונים הפוכים. $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ ו- $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ קולינאריים.

אפשר להזיז וקטור למקום אחר בלי לשנות את האורך ואת הכיוון שלו – הוא נשאר אותו וקטור.

דוגמה: וקטורים בתיבה

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ :

$\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}={\overrightarrow{A'B'}}={\overrightarrow{D'C'}}$ – ארבעה מקצועות מקבילים ושווים, באותו כיוון.
$\displaystyle {\overrightarrow{CD}}={-\overrightarrow{AB}}$ – אותו אורך, הכיוון הפוך.
כל הווקטורים האלה קולינאריים.
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ו- $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ באותו אורך רק בתיבה שהבסיס שלה ריבוע – וגם אז הם אינם שווים: הכיוונים שלהם שונים.

תרגיל 1

$\displaystyle ABCDEF$ הוא משושה משוכלל, ו- $\displaystyle O$ המרכז שלו. רשמו בעזרת האותיות שבשרטוט:

את כל הווקטורים השווים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$

את כל הווקטורים הנגדיים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$

וקטור קולינארי ל- $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ שאורכו כפול

תרגיל 2

בתיבה $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ נתון: $\displaystyle {AB}={4}$ , $\displaystyle {AD}={3}$ , $\displaystyle {AA'}={12}$ .

רשמו את כל הווקטורים השווים ל- $\displaystyle \overrightarrow{AA'}$ .

\displaystyle |\overrightarrow{AC}|

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle |\overrightarrow{AC'}|

תרגיל 3

נכון או לא נכון? נמקו.

לשני וקטורים שווים יש אותו אורך.

שני וקטורים באותו אורך הם שווים.

שני וקטורים נגדיים הם קולינאריים.

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ הוא מרובע, ונתון: $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{DC}}$ .
הוכיחו ש- $\displaystyle ABCD$ מקבילית.

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$