דלג לתוכן

נפח המנסרה והפירמידה

גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל) שיעור 18 מתוך 20לימוד

נפח המנסרה והפירמידה

הנוסחאות

B\displaystyle B – שטח הבסיס, h\displaystyle h – הגובה:

V\displaystyle V =\displaystyle = B⋅h\displaystyle B\cdot h
V\displaystyle V =\displaystyle = B⋅h3\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}

הראשונה למנסרה, השנייה לפירמידה: נפח הפירמידה הוא שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה. הנוסחאות נכונות גם כשהגוף אינו ישר – הגובה הוא תמיד הקטע המאונך לבסיס, לא המקצוע הצדדי.

איך מוצאים את הגובה

בגוף שאינו ישר מוצאים את הגובה באחת מהדרכים האלה:

  • השיעורים של שני הקצוות של הגובה נתונים – האורך הוא אורך הווקטור.
  • מקצוע מאונך לבסיס – למשל פירמידה שאחד המקצועות הצדדיים שלה מאונך לבסיס.
  • הוכחה במכפלה סקלרית שהווקטור מאונך לשני מקצועות נחתכים של הבסיס (השיעור הקודם).
  • משפט פיתגורס, טריגונומטריה או וקטורים במשולש ישר זווית שהגובה הוא אחת הצלעות שלו.
דוגמה: פירמידה על טרפז

ABCDE

בפירמידה ABCDE\displaystyle ABCDE מהשיעור הקודם הבסיס הוא טרפז ישר זווית: AB→=(0,1,−2)\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(0,1,-2)}, DC→=(0,3,−6)\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={(0,3,-6)}, AD→=(−5,−4,−2)\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={(-5,-4,-2)}.
AE⊥ABCD\displaystyle AE\perp ABCD, ו-AE→=(−4,4,2)\displaystyle {\overrightarrow{AE}}={(-4,4,2)}.

  • AB=5\displaystyle {AB}={\sqrt{5}}, DC=35\displaystyle {DC}={3\sqrt{5}}, AD=45=35\displaystyle {AD}={\sqrt{45}}={3\sqrt{5}} – הגובה של הטרפז.
  • B=5+352⋅35=25⋅35=30\displaystyle {B}={\frac{\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{2}\cdot3\sqrt{5}}={2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}}={30}.
  • h=∣AE→∣=16+16+4=6\displaystyle {h}={|\overrightarrow{AE}|}={\sqrt{16+16+4}}={6}.
  • V=30⋅63=60\displaystyle {V}={\frac{30\cdot6}{3}}={60}.
דוגמה: מנסרה שהיא תיבה

ABCDA′B′C′D′

במנסרה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCD\displaystyle ABCD הוא מקבילית: A(3,3,2)\displaystyle A(3,3,2), B(5,1,0)\displaystyle B(5,1,0), D(2,3,1)\displaystyle D(2,3,1), C′(10,13,−7)\displaystyle C'(10,13,-7).
מצאו את C\displaystyle C, הוכיחו שהמנסרה היא תיבה, וחשבו את הנפח שלה.

  • DC→=AB→=(2,−2,−2)\displaystyle {\overrightarrow{DC}}={\overrightarrow{AB}}={(2,-2,-2)}, ולכן C=(4,1,−1)\displaystyle {C}={(4,1,-1)}.
  • AD→=(−1,0,−1)\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={(-1,0,-1)}: AB→⋅AD→=−2+0+2=0\displaystyle {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}={-2+0+2}={0} – הבסיס מלבן.
  • CC′→=(6,12,−6)\displaystyle {\overrightarrow{CC'}}={(6,12,-6)}: CC′→⋅AB→=12−24+12=0\displaystyle {\overrightarrow{CC'}\cdot\overrightarrow{AB}}={12-24+12}={0} ו-CC′→⋅AD→=−6+0+6=0\displaystyle {\overrightarrow{CC'}\cdot\overrightarrow{AD}}={-6+0+6}={0} – המקצוע הצדדי מאונך לבסיס, והמנסרה ישרה. מנסרה ישרה שהבסיס שלה מלבן היא תיבה.
  • V=∣AB→∣⋅∣AD→∣⋅∣CC′→∣=12⋅2⋅216=5184=72\displaystyle {V}={|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|\cdot|\overrightarrow{CC'}|}={\sqrt{12}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{216}}={\sqrt{5184}}={72}.
תרגיל 1

30°ABCDA′B′C′D′

בתיבה ABCDA′B′C′D′\displaystyle ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCD\displaystyle ABCD הוא מלבן.
אורך אלכסון המלבן 5, והזווית החדה בין האלכסונים של המלבן 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
הזווית בין אלכסון התיבה BD′\displaystyle BD' לבין אלכסון הבסיס BD\displaystyle BD היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}.

א
המקצוע הצדדי DD′\displaystyle DD', מדויק

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    שטח הבסיס, מדויק (רמז: שטח משולש לפי סינוס, ארבעה משולשים)

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      נפח התיבה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד
        פי כמה נפח התיבה גדול מנפח הפירמידה ABDD′\displaystyle ABDD'?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          ABCDA′B′C′D′E

          במקבילון מתרגיל 3 של השיעור הקודם (ABCD\displaystyle ABCD מעוין בצלע 1, ∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60∘\displaystyle {\angle BAD}={\angle A'AB}={\angle A'AD}={60^{\circ}}, AA′=1.2\displaystyle {AA'}={1.2}) הוכחתם ש-A′E\displaystyle A'E מאונך לבסיס, כש-A′E→=25u⃗+25v⃗−w⃗\displaystyle {\overrightarrow{A'E}}={\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{2}{5}\vec{v}-\vec{w}}.

          א
          ∣A′E→∣2\displaystyle |\overrightarrow{A'E}|^2

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב
            נפח המקבילון, מעוגל לשתי ספרות

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              ABCDSK

              בפירמידה SABCD\displaystyle SABCD מתרגיל 4 של השיעור הקודם: AB→=(3,6,−9)\displaystyle {\overrightarrow{AB}}={(3,6,-9)}, AD→=(−6,3,−9)\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={(-6,3,-9)}, ו-SK→=(−6,18,10)\displaystyle {\overrightarrow{SK}}={(-6,18,10)} מאונך לבסיס.

              א
              הזווית BAD\displaystyle BAD, מעוגלת לשתי ספרות

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב
                שטח המקבילית ABCD\displaystyle ABCD, מעוגל לשתי ספרות

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג
                  נפח הפירמידה, מעוגל למספר שלם

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    xyzOACBSD

                    הבסיס של הפירמידה הישרה OACBS\displaystyle OACBS הוא המלבן OACB\displaystyle OACB: O(0,0,0)\displaystyle O(0,0,0), A(4,0,0)\displaystyle A(4,0,0), B(0,8,0)\displaystyle B(0,8,0).
                    הגובה SD\displaystyle SD מאונך לבסיס, ו-SD=12\displaystyle {SD}={12}.

                    א
                    נפח הפירמידה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב
                      הזווית SOA\displaystyle SOA, מעוגלת לשתי ספרות (רמז: S(2,4,12)\displaystyle S(2,4,12))

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ג
                        הזווית SOB\displaystyle SOB, מעוגלת לשתי ספרות

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה