נוסחת בייס

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

נוסחת בייס

השאלה ההפוכה

בעץ ההסתברויות כתובות ההסתברויות של השלב השני בהינתן השלב הראשון. לפעמים שואלים הפוך: ידוע מה קרה בשלב השני – מה ההסתברות למה שקרה בשלב הראשון?

בבית הספר מהשיעור הקודם: $\displaystyle \frac{2}{5}$ מהתלמידים בנים, 20% מהבנים ו-30% מהבנות פעילים בתנועת נוער.
לכנס תנועות נוער בחרו באקראי תלמיד מבין הפעילים. מה ההסתברות שנבחרה בת?

ידוע שהתלמיד פעיל, ולכן בוחרים רק מבין הפעילים: $\displaystyle {P(A)}={0.26}$ .
מתוכם, הבנות הפעילות: $\displaystyle {P(F\cap A)}={0.18}$ .

P(F|A)=\frac{P(F\cap A)}{P(A)}=\frac{0.18}{0.26}=\frac{9}{13}

$\displaystyle {P(A|F)}={0.3}$ – מבין הבנות, 30% פעילות. $\displaystyle {P(F|A)}={\frac{9}{13}\approx0.69}$ – מבין הפעילים, כ-69% בנות. אלה שתי שאלות שונות.

נוסחת בייס

$\displaystyle P(A\cap B)$ אפשר לכתוב בשתי דרכים: לפי עץ שמתחיל ב- $\displaystyle B$ , ולפי עץ שמתחיל ב- $\displaystyle A$ . שתי המכפלות שוות זו לזו, וזו נוסחת בייס:

\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)

\displaystyle =

\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)

הנוסחה מעבירה מהסתברות מותנית אחת להפוכה לה: כשידועות $\displaystyle P(B|A)$ , $\displaystyle P(A)$ ו- $\displaystyle P(B)$ , מחלקים ב- $\displaystyle P(B)$ ומקבלים את $\displaystyle P(A|B)$ .

בבית הספר: $\displaystyle {P(F|A)\cdot0.26}={0.3\cdot\frac{3}{5}}={0.18}$ , ולכן $\displaystyle {P(F|A)}={\frac{0.18}{0.26}}={\frac{9}{13}}$ .

שלושה צעדים בעזרת עץ

שאלה הפוכה פותרים בשלושה צעדים:

בונים את העץ לפי סדר הניסוי.
מחשבים את ההסתברות של מה שידוע – סכום המסלולים שלו (נוסחת ההסתברות השלמה).
מחלקים את המסלולים שעונים גם על השאלה בהסתברות הזאת.

בקופסה I יש שלושה כדורים אדומים וארבעה ירוקים.
בקופסה II יש 12 כדורים אדומים וארבעה ירוקים.
בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה שני כדורים זה אחר זה, בלי החזרה.
ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות שהם הוצאו מקופסה I?

$\displaystyle E$ – המאורע “שני הכדורים באותו צבע”. המסלולים שלו מסומנים:

שני כדורים באותו צבע מקופסה I: $\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}}={\frac{1}{14}+\frac{1}{7}}={\frac{3}{14}}$ .
מקופסה II: $\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{16}\cdot\frac{11}{15}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{16}\cdot\frac{3}{15}}={\frac{11}{40}+\frac{1}{40}}={\frac{3}{10}}$ .
באותו צבע: $\displaystyle {P(E)}={\frac{3}{14}+\frac{3}{10}}={\frac{18}{35}}$ .

P(\text{I}\,|\,E)=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{18}{35}}=\frac{3}{14}\cdot\frac{35}{18}=\frac{5}{12}

בדיקה רפואית

נוסחת בייס מסבירה למה תוצאה חיובית בבדיקה אינה אומרת בהכרח שאדם חולה.

מחלה נדירה פוגעת ב-1% מהאנשים.
הבדיקה מזהה 95% מהחולים: אצלם התוצאה חיובית.
אצל 10% מהבריאים התוצאה חיובית בטעות.
לאדם שנבחר באקראי יצאה תוצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא חולה?
$\displaystyle S$ – האדם חולה; $\displaystyle +$ – התוצאה חיובית.

תוצאה חיובית: $\displaystyle {P(+)}={0.01\cdot0.95+0.99\cdot0.1}={0.0095+0.099}={0.1085}$ .
חולה וגם חיובית: $\displaystyle 0.0095$ .

P(S|+)=\frac{0.0095}{0.1085}\approx0.09

רק כ-9% ממי שיצאה לו תוצאה חיובית חולים. הבריאים רבים כל כך, שגם 10% מהם הם הרבה יותר אנשים מכל החולים.

תרגיל 1

בשלוש קופסאות, $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle C$ , יש כדורים שחורים ולבנים.
בקופסה $\displaystyle A$ יש שני כדורים שחורים ושלושה לבנים.
בקופסה $\displaystyle B$ יש שלושה כדורים שחורים ושניים לבנים.
בקופסה $\displaystyle C$ יש ארבעה כדורים שחורים וכדור לבן אחד.
בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד.
ידוע שהוצא כדור לבן.

השלימו את העץ, וחשבו את ההסתברות שהכדור הוצא מקופסה $\displaystyle B$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

במפעל, מכונה א’ מייצרת 60% מהחלקים, ומכונה ב’ – 40%.
5% מהחלקים של מכונה א’ פגומים, ו-10% מהחלקים של מכונה ב’.
ההסתברות שחלק שנבחר באקראי פגום היא $\displaystyle 0.07$ .
חלק שנבחר באקראי נמצא פגום.

מה ההסתברות שהוא יוצר במכונה ב'?

תרגיל 3

בבית הספר מהדוגמה, $\displaystyle \frac{2}{5}$ מהתלמידים בנים, ו-26% מכל התלמידים פעילים בתנועת נוער.
20% מהבנים פעילים.
בוחרים באקראי תלמיד שאינו פעיל בתנועת נוער.

מה ההסתברות שזה בן?

תרגיל 4

בשקית א’ יש שבע מטפחות צהובות וחמש אדומות.
בשקית ב’ יש עשר מטפחות: חלקן צהובות והשאר אדומות.
מוציאים באקראי מטפחת אחת משקית א’ ומטפחת אחת משקית ב’.
ההסתברות ששתי המטפחות צהובות היא $\displaystyle \frac{7}{40}$ .

כמה מטפחות צהובות יש בשקית ב’? סמנו ב- $\displaystyle x$ את מספר המטפחות הצהובות בשקית ב’, ופתרו משוואה.

מחזירים כל מטפחת לשקית שלה, ושוב מוציאים מטפחת מכל שקית.
ידוע שהמטפחות בצבעים שונים. מה ההסתברות שהמטפחת משקית ב’ צהובה?
השלב הראשון בעץ – שקית א’, השני – שקית ב'.

תרגיל 5

2% מהאנשים חולים במחלה מסוימת.
הבדיקה למחלה חיובית אצל 90% מהחולים.
היא חיובית בטעות אצל 5% מהבריאים.

לאדם שנבחר באקראי יצאה תוצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא חולה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הבדיקה מזהה 90% מהחולים, אבל התשובה לסעיף הקודם קטנה בהרבה מ-90%. הסבירו למה.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$